Séance 6 — Démontrer avec des lettres

Objectif de la séance

Démontrer une conjecture numérique à l’aide du calcul littéral

Automatismes

a. La somme des trois entiers consécutifs à partir de \(7\)
b. Le nombre entier qui suit \(n\)
c. Le nombre entier qui précède \(n\)
d. Un multiple de \(3\), avec la lettre \(n\)
e. La valeur de \(n^2 - 1\) pour \(n = 7\)
f. \(6 \times 8\)

Recherche

D'un carré au suivant

Calcule \(2^2 - 1^2\), puis \(3^2 - 2^2\), \(4^2 - 3^2\) et \(5^2 - 4^2\).
Quel point commun ont ces quatre résultats ? Formule une conjecture sur la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
Ta conjecture tient-elle pour \(11^2 - 10^2\) ? Ces cinq essais suffisent-ils pour être sûr qu’elle est vraie pour tous les entiers ?
Comment écrire deux entiers consécutifs sans choisir leur valeur ?

Méthode

D'une remarque à une démonstration

1. Essayer sur plusieurs nombres, et formuler ce qu’on observe en français. C’est une conjecture : rien n’est encore démontré.

2. Nommer le ou les nombres avec des lettres, en respectant les liens de l’énoncé — deux entiers consécutifs s’écrivent \(n\) et \(\trouM{n+1}\), jamais \(n\) et \(m\).

3. Traduire la conjecture par une égalité d’expressions.

4. Développer et réduire chaque membre. S’ils aboutissent à la même expression, la conjecture est démontrée pour tous les nombres.

Un contre-exemple suffit, mille exemples ne suffisent pas

Pour réfuter une conjecture, un seul nombre qui ne marche pas suffit.

Pour la démontrer, aucun nombre d’exemples ne suffit : il faut passer par les lettres.

Exercices

Les deux voisins

On appelle voisins d’un nombre entier les deux entiers qui l’encadrent : les voisins de \(7\) sont \(6\) et \(8\).

Calcule le produit des voisins de \(7\), puis de \(10\), puis de \(5\). Compare chaque fois avec le carré du nombre de départ.
Formule une conjecture.
Démontre-la.

Deux entiers qui se suivent

Prends deux entiers consécutifs, par exemple \(8\) et \(9\). Calcule la différence de leurs carrés, puis leur somme. Recommence avec deux autres.
Formule une conjecture.
Démontre-la.

Une conjecture qui tombe

Un élève affirme : la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de \(6\).

Vérifie avec \(1\), \(2\), \(3\). Puis avec \(2\), \(3\), \(4\).
Que peux-tu conclure ?
Démontre ce qui est vrai de cette somme.

Le potager qu'on déforme

Un potager carré mesure \(x\) mètres de côté. On l’allonge de \(3\) m dans un sens et on le raccourcit de \(3\) m dans l’autre.

Écris l’aire du potager de départ, puis celle du nouveau potager.
Le nouveau potager a-t-il la même aire ? Justifie.
De combien l’aire a-t-elle changé ? Cette réponse dépend-elle de \(x\) ?