Séance 5 — Programmes de calcul

Objectif de la séance

Traduire un programme de calcul par une expression littérale, et démontrer que deux programmes sont équivalents

Automatismes

a. \(-6 + 15\)
b. \(4 - (-7)\)
c. \((-3)^2\)
d. La valeur de \(3x - 5\) pour \(x = -2\)
e. La valeur de \(x^2 + x\) pour \(x = 4\)
f. « Le triple d’un nombre, diminué de \(7\) », avec la lettre \(n\)

Méthode

Chaque instruction transforme l’expression

Traduire un programme, puis le réduire

1. Appeler \(x\) le nombre choisi.

2. Écrire, ligne par ligne, ce que devient l’expression après chaque consigne. Une consigne qui commence par « multiplie le résultat par… » demande des parenthèses autour de ce qui précède.

3. Développer et réduire.

4. L’expression réduite est le programme tout entier : deux programmes sont équivalents lorsqu’ils conduisent à la même expression réduite.

Un programme traduit pas à pas

Choisis un nombre.

Ajoute \(1\).

Multiplie le résultat par le nombre choisi augmenté de \(3\).

Retire le carré du nombre choisi.

Consigne	Expression
Choisis un nombre	\(x\)
Ajoute \(1\)	\(x + 1\)
Multiplie par le nombre augmenté de \(3\)	\((x+1)(x+3)\)
Retire le carré du nombre choisi	\((x+1)(x+3) - x^2\)

On développe :

\((x+1)(x+3) - x^2 = x^2 + 3x + x + 3 - x^2\)

\(= 4x + 3\)

Le programme revient donc à multiplier par \(4\) et ajouter \(3\), ce que rien dans son énoncé ne laissait deviner.

Remarque

Les parenthèses de la troisième ligne ne sont pas une décoration : sans elles, on écrirait \(x + 1 \times (x+3)\), qui n’est pas le même calcul. Une consigne qui porte sur « le résultat » porte sur tout ce qui a été écrit avant.

Exercices

Traduire et réduire

Traduis chaque programme par une expression, puis développe et réduis.

Programme 1 : choisis un nombre ; ajoute \(2\) ; multiplie le résultat par le nombre choisi augmenté de \(6\).

Programme 2 : choisis un nombre ; retire \(5\) ; multiplie le résultat par le double du nombre choisi ; ajoute \(10\) fois le nombre choisi.

Deux programmes équivalents

Programme C : choisis un nombre ; ajoute \(4\) ; multiplie le résultat par le nombre choisi diminué de \(1\).

Programme D : choisis un nombre ; multiplie-le par lui-même ; ajoute le triple du nombre choisi ; retire \(4\).

Applique les deux programmes à \(5\), puis à \(-2\).
Démontre qu’ils donnent le même résultat pour tous les nombres.

Un programme qui ne dépend de rien

Programme E : choisis un nombre ; ajoute \(3\) ; multiplie le résultat par le nombre choisi augmenté de \(1\) ; retire le carré du nombre choisi ; retire enfin \(4\) fois le nombre choisi.

Applique-le à trois nombres de ton choix.
Explique ce que tu observes.

Non équivalents, et le prouver

Programme F : choisis un nombre ; ajoute \(2\) ; multiplie le résultat par le nombre choisi augmenté de \(3\).

Programme G : choisis un nombre ; multiplie-le par lui-même ; ajoute \(5\) fois le nombre choisi ; ajoute \(5\).

Ces deux programmes sont-ils équivalents ? Justifie de deux façons différentes.