Séance 2 — La double distributivité
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Développer un produit de deux sommes, puis réduire ; Justifier la double distributivité à partir de la distributivité simple
Automatismes
- a. Développer \(5(x + 3)\)
- b. Développer \(-2(x + 4)\)
- c. Réduire \(3x + 7x^2 - x\)
- d. Écrire sans parenthèses \(-(x - 9)\)
- e. Calculer \(x \times x\)
- f. La valeur de \(2x + 1\) pour \(x = -4\)
Mise en commun de l’activité
L’activité s’est arrêtée sur un résultat et un manque :
Le découpage du rectangle donne \((x+3)(y+2) = xy + 2x + 3y + 6\).
Aucun calcul connu ne permet de le retrouver, et les deux programmes de
calcul restent une coïncidence constatée sur trois nombres.
Trace écrite
Double distributivité
Double distributivité
Pour tous les nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :
Développer un produit de deux sommes, c’est écrire la somme des quatre produits obtenus en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
Ne pas oublier de produit
Ne pas oublier de produit
Deux façons de s’y prendre, au choix — mais toujours la même d’une fois sur l’autre.
Les quatre flèches.
Le tableau à double entrée. Deux lignes, deux colonnes : les quatre cases sont là, aucune ne peut être oubliée.
| \(\times\) | \(c\) | \(d\) |
|---|---|---|
| \(a\) | \(ac\) | \(ad\) |
| \(b\) | \(bc\) | \(bd\) |
Démonstration
Ramener au cas connu, en nommant la première parenthèse
Ramener au cas connu, en nommant la première parenthèse
On pose \(k = a + b\) : la première parenthèse devient un simple facteur, et la distributivité simple redevient applicable.
La double distributivité n’est donc pas une règle nouvelle : c’est la distributivité simple appliquée trois fois.
Remarque
Remarque
Le découpage du rectangle de l’activité et cette démonstration disent la même chose. Le rectangle rend le résultat évident, mais il suppose que \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) soient des longueurs, donc positifs. La démonstration, elle, vaut aussi pour des nombres négatifs — et il y en aura dès la séance 3.
Exemples
Deux développements, pas à pas
Deux développements, pas à pas
\((x+3)(x+2) = x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2\)
\(= x^2 + 2x + 3x + 6\)
\(= x^2 + 5x + 6\)
\((2x+1)(x+5) = 2x \times x + 2x \times 5 + 1 \times x + 1 \times 5\)
\(= 2x^2 + 10x + x + 5\)
\(= 2x^2 + 11x + 5\)
La ligne du milieu, celle des quatre produits, s’écrit toujours. C’est elle qu’on relit quand le résultat est faux.
Les deux questions de l'activité, enfin résolues
Les deux questions de l'activité, enfin résolues
La planche du jardin : \((x+3)(y+2) = xy + 2x + 3y + 6\). Les quatre termes sont les quatre morceaux du rectangle, et aucun ne se réduit — ils ne sont pas semblables.
Le programme A : \((x+5)(x+2) = x^2 + 2x + 5x + 10 = x^2 + 7x + 10\), qui est exactement l’expression du programme B. Les deux programmes donnent donc le même résultat pour tous les nombres, et non pour les trois essayés.
Exercices
Développer et réduire
Développer et réduire
a. \((x+1)(x+4)\) b. \((x+6)(x+2)\) c. \((2x+3)(x+5)\) d. \((3x+1)(2x+7)\)
Retrouver le produit de départ
Retrouver le produit de départ
Voici deux sommes de quatre produits, écrites sans être réduites. Retrouve, pour chacune, le produit de deux parenthèses dont elle vient.
a. \(x^2 + 7x + 2x + 14\) b. \(3x^2 + 12x + x + 4\)