Séance 3 — Développer et réduire, quand il y a des signes

Objectif de la séance

Développer un produit de deux sommes, puis réduire

Automatismes

a. \(-3 \times 5\)
b. \(-4 \times (-6)\)
c. \(-2 \times 7\)
d. Développer \(-5(x - 2)\)
e. \((-2)^2\)
f. Réduire \(4x - 9x\)

Méthode

Quatre morceaux, quatre produits

Le signe fait partie du terme

Dans \((x - 3)\), les deux termes sont \(x\) et \(\trouM{-3}\) — pas « \(x\) moins \(3\) ». On lit donc la parenthèse comme une somme, puis on applique les quatre produits sans plus se soucier des signes que dans n’importe quel calcul de relatifs.

1. Récrire chaque parenthèse en repérant ses deux termes, signe compris.

2. Écrire la ligne des quatre produits, sans en réduire aucun.

3. Réduire les termes semblables.

4. Contrôler en remplaçant \(x\) par un nombre simple, \(2\) par exemple, dans l’expression de départ et dans le résultat.

Trois cas, du plus simple au plus piégeux

Un terme négatif.

\((x-3)(x+4) = x^2 + 4x - 3x - 12\)

\(= x^2 + x - 12\)

Deux termes négatifs. Le dernier produit devient positif : \((-5) \times (-2) = 10\).

\((2x-5)(3x-2) = 6x^2 - 4x - 15x + 10\)

\(= 6x^2 - 19x + 10\)

Un terme négatif en tête.

\((-x+4)(2x-1) = -2x^2 + x + 8x - 4\)

\(= -2x^2 + 9x - 4\)

Le contrôle numérique

Pour \(x = 2\), le premier exemple donne \((2-3)(2+4) = (-1) \times 6 = -6\) d’un côté, et \(4 + 2 - 12 = -6\) de l’autre. Les deux nombres coïncident.

Ce contrôle ne prouve pas que le développement est juste, mais il repère presque toutes les erreurs de signe — et il se fait seul, sans professeur.

Exercices

Développer et réduire

a. \((x-2)(x+5)\) b. \((x+3)(x-7)\) c. \((x-4)(x-6)\) d. \((2x-3)(5x+7)\) e. \((3x+2)(2x-5)\) f. \((-2x+1)(x-4)\)

Développer, puis vérifier

Développe et réduis, puis vérifie ton résultat en remplaçant \(x\) par \(2\) dans l’expression de départ et dans ton résultat.

a. \((x-1)(x+6)\) b. \((3x-2)(x-5)\)

Plusieurs opérations

Développe et réduis.

a. \((x+2)(x+3) - x^2\) b. \((x-1)(x+4) + 2(x+3)\) c. \((2x+1)(x-3) - 2x(x+1)\)