Séance 8 — Des puissances pour toutes les bases

Objectif de la séance

Simplifier l’écriture d’un produit de facteurs égaux à l’aide d’une puissance

Automatismes

a. Calcule $a^2$ pour $a = 6$.
b. Calcule $a^3$ pour $a = 2$.
c. Réduis $3x + 5x$.
d. Calcule $2 + 3 \times 4$.
e. Calcule $(2 + 3) \times 4$.
f. Calcule $5x$ pour $x = 1,2$.
g. Écris autrement $b \times b$.
h. Calcule $10 - 2 \times 3$.

Recherche

Raccourcir une écriture

Voici quatre produits.

$P = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$
$Q = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$
$R = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
$S = 4 \times 4 \times 4 \times 6 \times 6 \times 4$
Pour chacun, dis combien de fois chaque facteur apparaît.
Propose une écriture plus courte, en t’inspirant de ce que tu sais déjà pour $10^{n}$ et pour $a^{2}$.
Calcule $P$ et $Q$.
Sans calculer $R$, dis lequel de $R$ ou de $10^{3}$ est le plus grand. Explique.

Trace écrite

Puissance d'un nombre, exposant positif

Soit $a$ un nombre et $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Le nombre $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $$a^{n} = a \times a \times \cdots \times a$$

Le nombre $a$ est la base, le nombre $n$ est l’exposant. On lit « $a$ puissance $n$ ».

Cas particuliers : $a^{1} = \trouM{a}$, et $a^{0} = \trouM{1}$ pour tout nombre $a$ non nul.

$a^{2}$ se lit aussi « $a$ au carré » et $a^{3}$ « $a$ au cube ».

Simplifier l'écriture d'un produit de puissances de même base

Pour tout nombre $a$ et tous entiers positifs $m$ et $n$ : $$a^{m} \times a^{n} = a^{\,m+n}$$

En effet, on écrit $m$ facteurs $a$ puis $n$ facteurs $a$ : au total, il y en a $m+n$.

$2^{3} \times 2^{4} = 2^{\trouM{7}}$ et $5^{2} \times 5 = 5^{\trouM{3}}$.

Attention

Cette règle ne vaut que si les deux puissances ont la même base. $2^{3} \times 5^{2}$ ne se simplifie pas : ce produit vaut $8 \times 25 = 200$, et ni $10^{5}$ ni $10^{6}$.

Priorité de la puissance

Dans un calcul, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Les parenthèses restent prioritaires sur tout.

$3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = \trouM{48}$, alors que $(3 \times 2)^{4} = 6^{4} = \trouM{1\,296}$.

La puissance passe avant la multiplication

Remarque

En quatrième, on se limite aux exposants positifs pour les bases autres que $10$, et à l’usage qui vient d’être décrit : raccourcir l’écriture d’un produit. Les exposants négatifs et les quotients de puissances de base quelconque relèvent des classes supérieures.

Exercices

Calculer

Donne la valeur de chaque puissance.

a. $3^{4}$ b. $2^{6}$ c. $5^{3}$ d. $7^{2}$ e. $1^{12}$ f. $9^{0}$ g. $4^{3}$ h. $6^{1}$

Simplifier l'écriture

Écris chaque produit le plus simplement possible, à l’aide de puissances.

a. $8 \times 8 \times 8$ b. $x \times x \times x \times x$ c. $2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$ d. $5^{2} \times 5^{6}$ e. $a^{3} \times a$ f. $3 \times 3 \times 3 \times 4 \times 3$ g. $2^{4} \times 3^{2} \times 2^{5}$

Trois calculs à examiner

Trois élèves ont calculé $2 + 3 \times 5^{2}$.

Adam : $2 + 3 \times 5^{2} = 5 \times 5^{2} = 5^{3} = 125$

Lina : $2 + 3 \times 5^{2} = 2 + 15^{2} = 2 + 225 = 227$

Rayan : $2 + 3 \times 5^{2} = 2 + 3 \times 25 = 2 + 75 = 77$

Qui a juste ?
Pour chacun des deux autres, indique la ligne où l’erreur apparaît et dis quelle règle a été enfreinte.

Vrai ou faux, avec justification

a. $2^{5} = 10$ b. $3^{2} \times 3^{3} = 3^{6}$ c. $4^{2} \times 4^{2} = 4^{4}$ d. $2^{3} + 2^{3} = 2^{6}$ e. $(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}$