Séance 5 — Comparer et ranger sans compter les zéros

Objectif de la séance

Écrire un nombre en notation scientifique, et s’en servir pour comparer et ranger des nombres

Automatismes

a. \(\dfrac{3}{4}\) de \(80\)
b. \(25\,\%\) de \(60\)
c. Compare \(\dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{4}{5}\).
d. Compare \(0,4\) et \(0,38\).
e. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\)
f. \(10\,\%\) de \(250\)
g. \(6 \times 0,5\)
h. Range dans l’ordre croissant : \(1,09\) ; \(1,9\) ; \(1,109\).

Recherche

Qui est le plus grand ?

On veut comparer \(A = 3\,400\,000\) et \(B = 890\,000\).

Compare \(A\) et \(B\) en écriture décimale. Combien de chiffres faut-il compter ?
Écris \(A\) et \(B\) en notation scientifique.
Compare-les de nouveau à partir de ces écritures. Qu’as-tu regardé en premier ?

On veut maintenant comparer \(C = 4,7 \times 10^{8}\) et \(D = 4,7 \times 10^{5}\), puis \(E = 2,3 \times 10^{6}\) et \(F = 9,1 \times 10^{6}\).

Compare \(C\) et \(D\), puis \(E\) et \(F\). Explique à chaque fois ce qui a suffi à décider.
Rédige la règle générale que tu viens d’utiliser, en deux phrases.

Trace écrite

Comparer deux nombres positifs en notation scientifique

Soit deux nombres positifs écrits \(a \times 10^m\) et \(b \times 10^n\), en notation scientifique.

On compare les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre.
Si les exposants sont égaux, on compare les premiers facteurs.

\(2,4 \times 10^{7} \trouM{>} 9,8 \times 10^{6}\), car \(7 > 6\).

\(3,1 \times 10^{-5} \trouM{<} 3,9 \times 10^{-5}\), car les exposants sont égaux et \(3,1 < 3,9\).

Attention

Cette méthode ne vaut que si les deux nombres sont réellement en notation scientifique. \(47 \times 10^{5}\) et \(6 \times 10^{6}\) ne se comparent pas en regardant \(5\) et \(6\) : il faut d’abord écrire \(47 \times 10^5 = 4,7 \times 10^6\).

Remarque

Ranger des nombres écrits en notation scientifique revient donc à ranger des entiers relatifs — les exposants — puis, à égalité, des décimaux compris entre \(1\) et \(10\). Deux comparaisons déjà connues, aucune nouvelle.

Exercices

Comparer

Complète par \(<\) ou \(>\).

a. \(5,2 \times 10^{9} \dots 8,7 \times 10^{8}\) b. \(6,1 \times 10^{-3} \dots 6,4 \times 10^{-3}\) c. \(9,9 \times 10^{-7} \dots 1,1 \times 10^{-6}\) d. \(2 \times 10^{4} \dots 2 \times 10^{-4}\) e. \(7,5 \times 10^{0} \dots 1,2 \times 10^{1}\)

Ranger

Range dans l’ordre croissant : \(3,4 \times 10^{5}\) ; \(2,9 \times 10^{6}\) ; \(8,1 \times 10^{4}\) ; \(3,4 \times 10^{6}\).
Range dans l’ordre décroissant : \(6 \times 10^{-2}\) ; \(6 \times 10^{-5}\) ; \(1,2 \times 10^{-1}\) ; \(9,9 \times 10^{-3}\).
Range dans l’ordre croissant, en écrivant d’abord chaque nombre en notation scientifique : \(0,004\) ; \(52 \times 10^{-4}\) ; \(3,1 \times 10^{-3}\) ; \(0,000\,9\).

Deux comparaisons à examiner

Un exercice demandait de comparer \(A = 6,3 \times 10^{7}\) et \(B = 4,1 \times 10^{9}\).

Yanis : \(6,3 > 4,1\) donc \(A > B\).

Maïa : \(A\) a moins de chiffres que \(B\), donc \(A < B\). Je le vois parce que \(7 < 9\).

Qui a la bonne conclusion ?
L’argument de chacun est-il correct ? Réponds séparément sur la conclusion et sur le raisonnement.
Donne un exemple de deux nombres pour lesquels le raisonnement de Yanis donnerait la bonne conclusion.