Séance 1 — Une écriture courte pour les grands nombres
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Écrire et utiliser les puissances de 10, d’exposant positif puis négatif, et calculer avec elles
Automatismes
- a. \(3,7 \times 10\)
- b. \(0,45 \times 100\)
- c. \(52 \div 10\)
- d. \(6,1 \div 100\)
- e. \(2,5 + 3,75\)
- f. \(7 - 0,8\)
- g. \(5 + 3 \times 4\)
- h. Combien de secondes dans une heure ?
Trace écrite
Puissance de 10 d'exposant positif
Puissance de 10 d'exposant positif
Soit \(n\) un entier positif. Le nombre \(10^n\) est le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(10\) : $\(10^n = 10 \times 10 \times \cdots \times 10\)$
Dans l’écriture \(10^n\), le nombre \(10\) est la base et le nombre \(n\) est l’exposant. On lit « dix puissance \(n\) ».
Deux cas particuliers, à connaître : \(10^1 = \trouM{10}\) et \(10^0 = \trouM{1}\).
Attention
Attention
\(10^6\) ne vaut pas \(10 \times 6 = 60\). L’exposant ne se multiplie pas à la base : il compte combien de fois la base apparaît dans le produit.
Écriture décimale d'une puissance de 10
Écriture décimale d'une puissance de 10
Pour tout entier \(n\) positif, \(10^n\) s’écrit avec le chiffre \(1\) suivi de \(n\) zéros.
\(10^3 = \trouM{1\,000}\) ; \(10^6 = \trouM{1\,000\,000}\) ; \(10^9 = \trouM{1\,000\,000\,000}\).
Écrire un grand nombre rond avec une puissance de 10
Écrire un grand nombre rond avec une puissance de 10
On compte les zéros qui suivent le premier chiffre significatif, puis on sépare le début du nombre et la puissance de 10 correspondante.
Remarque
Remarque
Trois puissances méritent leur nom courant : \(10^3\) est un millier, \(10^6\) un million, \(10^9\) un milliard. Ce sont celles qu’on rencontre le plus souvent dans la presse, et elles reviendront en séance 7 sous les noms kilo, méga et giga.
Exercices
Lire et écrire
Lire et écrire
-
Donne l’écriture décimale de :
a. \(10^2\) b. \(10^5\) c. \(10^7\) d. \(10^0\) e. \(10^1\)
-
Écris sous la forme \(10^n\) :
a. \(1\,000\) b. \(100\,000\) c. \(10\) d. \(1\) e. \(1\,000\,000\,000\,000\)
-
Combien de zéros comporte l’écriture décimale de \(10^{12}\) ? Et celle de \(10^{25}\) ? Réponds sans les écrire.
Séparer le début et la puissance
Séparer le début et la puissance
Écris chaque nombre sous la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) est un nombre décimal et \(n\) un entier positif.
a. \(700\) b. \(60\,000\) c. \(1\,200\,000\) d. \(85\,000\,000\) e. \(9\,300\) f. \(150\,000\,000\,000\)
Retour au tableau de physique
Retour au tableau de physique
Reprends la table de l’activité de découverte.
- Écris le rayon de la Terre, \(6\,370\,000\) m, sous la forme \(a \times 10^n\).
- Fais de même pour la distance de la Terre au Soleil, \(149\,600\,000\,000\) m.
- Laquelle des deux écritures — décimale ou avec une puissance de 10 — te permet de dire le plus vite lequel des deux nombres est le plus grand ? Explique en une phrase.