Séance 2 — Descendre au-dessous de 1

Objectif de la séance

Écrire et utiliser les puissances de 10, d’exposant positif puis négatif, et calculer avec elles

Automatismes

a. $0,3 + 0,7$
b. $1 - 0,25$
c. Écris $\dfrac{7}{10}$ en écriture décimale.
d. Écris $\dfrac{3}{100}$ en écriture décimale.
e. Écris $0,009$ sous forme de fraction décimale.
f. $12 \div 4 + 5$
g. $2 \times (3 + 6)$
h. Range dans l’ordre croissant : $0,7$ ; $0,07$ ; $0,17$.

Recherche

Que se passe-t-il si l'on continue ?

On descend la liste des puissances de 10 en divisant chaque fois par $10$.

Puissance	$10^4$	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$	?	?	?
Valeur	$10\,000$	$1\,000$	$100$	$10$	$1$	?	?	?

Que fait-on à l’exposant lorsqu’on passe d’une colonne à la suivante vers la droite ?
Que fait-on à la valeur ?
Complète les trois dernières colonnes, exposant et valeur, en gardant les deux règles que tu viens d’énoncer.
Quelle valeur donnerais-tu à $10^{-6}$ ? Écris-la.

Trace écrite

Puissance de 10 d'exposant négatif

Soit $n$ un entier positif. Le nombre $10^{-n}$ est l’inverse de $10^n$ : $$10^{-n} = \frac{1}{10^n}$$

Ainsi $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = \trouM{0,01}$.

Écriture décimale d'une puissance de 10 négative

Pour tout entier $n$ positif, l’écriture décimale de $10^{-n}$ est : un $0$, une virgule, puis $n-1$ zéros, puis le chiffre $1$.

Autrement dit, le chiffre $1$ occupe le $n$-ième rang après la virgule.

$10^{-1} = \trouM{0,1}$ ; $10^{-3} = \trouM{0,001}$ ; $10^{-6} = \trouM{0,000\,001}$.

La virgule glisse, dans un sens ou dans l’autre

Attention

$10^{-3}$ est un nombre positif, et il est plus petit que $1$. Le signe $-$ porte sur l’exposant, pas sur le nombre : il indique qu’on divise, non qu’on passe de l’autre côté de zéro.

$10^{-3} = 0,001$ et non $-1\,000$.

Remarque

Une seule règle à retenir pour les deux cas : l’exposant compte les rangs que l’on parcourt à partir de $1$. Vers la gauche si l’exposant est positif, vers la droite s’il est négatif.

Exercices

Aller et venir

Donne l’écriture décimale de :

a. $10^{-1}$ b. $10^{-4}$ c. $10^{-2}$ d. $10^{-7}$
Écris sous la forme $10^n$, avec $n$ entier relatif :

a. $0,01$ b. $0,000\,1$ c. $0,000\,000\,01$ d. $100$ e. $0,1$
Range dans l’ordre croissant : $10^{-2}$ ; $10^{3}$ ; $10^{-5}$ ; $10^{0}$ ; $10^{-1}$.

Quatre écritures à examiner

Quatre élèves ont écrit l’écriture décimale de $10^{-4}$.

Naïm : $10^{-4} = -10\,000$

Sarah : $10^{-4} = 0,0001$

Théo : $10^{-4} = 0,00001$

Léna : $10^{-4} = -0,0001$

Qui a raison ?
Pour chacun des trois autres, explique en une phrase l’erreur commise.

Des ordres de grandeur familiers

Écris chaque longueur sous la forme $a \times 10^n$, avec $n$ entier relatif.

a. Épaisseur d’une feuille de papier : $0,000\,1$ m b. Diamètre d’un cheveu : $0,000\,07$ m c. Taille d’un virus : $0,000\,000\,1$ m d. Diamètre d’un globule rouge : $0,000\,007$ m e. Un millimètre, en mètres