Séance 6 — Ordres de grandeur

Objectif de la séance

Donner l’ordre de grandeur d’un nombre ou d’un résultat, et l’utiliser pour contrôler un calcul

Automatismes

a. \(19 \times 21\) vaut-il environ \(400\) ou environ \(4\,000\) ?
b. \(6 \times 7\)
c. \(48 \div 6\)
d. Arrondis \(3\,847\) à la centaine.
e. Arrondis \(0,376\) au dixième.
f. Quotient et reste de \(47\) par \(5\).
g. \(99 + 99\)
h. \(1\,000 \div 8\)

Recherche

Trois résultats, un seul plausible

Un élève doit calculer le nombre de battements du cœur d’une personne de \(80\) ans, à raison de \(70\) battements par minute.

Il tape le calcul à la calculatrice et obtient, selon la façon dont il l’a saisi, l’un de ces trois affichages :

Écran 1 : 2.94E9

Écran 2 : 2.94E7

Écran 3 : 2.94E12

Combien y a-t-il de minutes dans une heure ? dans un jour ? dans un an ? Donne à chaque fois une valeur approchée simple.
Sans faire le calcul exact, estime le nombre de battements en une année.
Multiplie ton estimation par \(80\). Quel écran est le seul possible ?
Que t’a-t-il fallu pour trancher : le calcul exact, ou autre chose ?

Ranger des grandeurs par crans de dix

Trace écrite

Ordre de grandeur

Un ordre de grandeur d’un nombre positif est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Il en donne la taille, pas la valeur exacte.

Pour un nombre écrit en notation scientifique \(a \times 10^{n}\) :

si \(a < 5\), un ordre de grandeur est \(10^{\trouM{n}}\) ;
si \(a \geqslant 5\), un ordre de grandeur est \(10^{\trouM{n+1}}\).

Exemple

\(3,2 \times 10^{8}\) a pour ordre de grandeur \(10^{8}\).

\(7,4 \times 10^{-5}\) a pour ordre de grandeur \(10^{-4}\), car \(7,4 \geqslant 5\).

Estimer un produit ou un quotient

On remplace chaque nombre par une valeur approchée simple, puis on calcule avec les puissances de 10.

\[4\,120 \times 0,000\,19 \approx 4 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-4} \approx 8 \times 10^{-1}\]

Le résultat exact, \(0,782\,8\), est bien proche de \(0,8\). On s’en sert pour contrôler un calcul : un résultat qui n’a pas le bon ordre de grandeur est faux, même si tous ses chiffres semblent corrects.

D’un nombre à son ordre de grandeur

Attention

Un ordre de grandeur n’est pas un arrondi. L’ordre de grandeur de \(12\,000\) est \(10^{4}\), et non \(12\,000\) ni \(10\,000\) « parce que c’est plus rond ». Un ordre de grandeur est toujours une puissance de 10.

Exercices

Donner un ordre de grandeur

Donne un ordre de grandeur de chaque nombre, sous la forme \(10^{n}\).

a. \(4,2 \times 10^{6}\) b. \(8,8 \times 10^{3}\) c. \(6,1 \times 10^{-4}\) d. \(1,9 \times 10^{-9}\) e. \(52\,000\) f. \(0,000\,73\)

Estimer avant de calculer

Pour chaque calcul, donne d’abord une estimation sous la forme \(a \times 10^{n}\), puis effectue à la calculatrice et compare.

\(3\,120 \times 41\,000\)
\(0,000\,42 \times 5\,900\)
\(\dfrac{7\,800\,000}{0,000\,4}\)

Le résultat est-il plausible ?

Pour chaque situation, dis si le résultat annoncé est plausible. Justifie par un ordre de grandeur, sans faire le calcul exact.

a. Une salle contient \(28\) rangées de \(32\) sièges. Un élève annonce \(8\,960\) sièges. b. La population mondiale est d’environ \(8 \times 10^{9}\) personnes. Un journal annonce que chacune consomme en moyenne \(2,5\) L d’eau par jour, soit \(2 \times 10^{7}\) L pour la planète et par jour. c. Un disque dur de \(2 \times 10^{12}\) octets contient des photos de \(4 \times 10^{6}\) octets. Un élève annonce qu’il peut en stocker environ \(5 \times 10^{5}\).