Séance 3 — Calculer avec les puissances de dix

Objectif de la séance

Écrire et utiliser les puissances de 10, d’exposant positif puis négatif, et calculer avec elles

Automatismes

a. $5 + (-3)$
b. $(-4) + (-6)$
c. $7 - 9$
d. $(-2) - 5$
e. $3 - (-8)$
f. $(-6) - (-6)$
g. $0 - 12$
h. $(-3) + 11 - 4$

Recherche

Pourquoi les exposants s'ajoutent

Écris $10^3 \times 10^2$ comme un produit de facteurs $10$, puis compte ces facteurs. Sous quelle forme $10^n$ peux-tu écrire le résultat ?
Recommence avec $10^4 \times 10^5$, puis avec $10^1 \times 10^6$.
Que remarques-tu à chaque fois sur les exposants ?
Le calcul $10^3 \div 10^2$ revient à simplifier $\dfrac{10 \times 10 \times 10}{10 \times 10}$. Combien de facteurs $10$ reste-t-il ? Écris le résultat sous la forme $10^n$.
Ta remarque de la question 3 vaut-elle encore pour $10^{-2} \times 10^5$ ? Vérifie en repassant par les écritures décimales.

Trace écrite

Produit et quotient de puissances de 10

Le décompte des facteurs $10$ donne à chaque fois le même constat :

les exposants s’ajoutent dans un produit, se soustraient dans un quotient.

$10^5 \times 10^{-3} = 10^{\trouM{2}}$, car $5 + (-3) = 2$.

$\dfrac{10^4}{10^{-2}} = 10^{\trouM{6}}$, car $4 - (-2) = 6$.

Il n’y a aucune formule à apprendre par cœur : en cas de doute, on revient au décompte des facteurs, ou à l’écriture décimale.

Compter les facteurs plutôt que retenir une formule

Inverse d'une puissance de 10

Pour tout entier relatif $n$ : $$\frac{1}{10^n} = 10^{-n}$$

$\dfrac{1}{10^5} = 10^{\trouM{-5}}$ et $\dfrac{1}{10^{-2}} = 10^{\trouM{2}}$.

Attention

Dans un produit, les exposants s’ajoutent — ils ne se multiplient pas. $10^3 \times 10^4$ vaut $10^7$, et non $10^{12}$.

Calculer une expression avec des puissances de 10

On regroupe d’un côté les nombres, de l’autre les puissances de 10.

\[\frac{4 \times 10^7 \times 3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}} = \frac{4 \times 3}{6} \times \frac{10^7 \times 10^{-2}}{10^{-3}} = 2 \times \frac{10^5}{10^{-3}} = 2 \times 10^8\]

On calcule les exposants séparément, comme une somme de relatifs : $7 + (-2) = 5$, puis $5 - (-3) = 8$.

Exercices

Application directe

Écris chaque résultat sous la forme $10^n$.

a. $10^4 \times 10^3$ b. $10^6 \times 10^{-2}$ c. $10^{-3} \times 10^{-5}$ d. $\dfrac{10^9}{10^4}$ e. $\dfrac{10^2}{10^{-6}}$ f. $\dfrac{10^{-1}}{10^{3}}$ g. $\dfrac{1}{10^7}$ h. $10^8 \times 10^{-8}$

Regrouper avant de calculer

Écris chaque résultat sous la forme $a \times 10^n$, avec $a$ décimal.

$3 \times 10^5 \times 2 \times 10^4$
$5 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{7}$
$\dfrac{8 \times 10^6}{2 \times 10^2}$
$\dfrac{9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-7}}$
$\dfrac{2 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-5}}{4 \times 10^{-1}}$

Vrai ou faux, avec justification

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

a. $10^3 \times 10^3 = 10^9$ b. $10^{-2}$ est un nombre négatif. c. $\dfrac{10^5}{10^5} = 0$ d. $10^4 + 10^4 = 10^8$ e. $\dfrac{1}{10^{-3}} = 10^{3}$