Séance 5 — Atelier d’erreurs et problèmes

Objectif de la séance

Repérer et corriger les erreurs les plus fréquentes

Automatismes

a. $25\ \%$ de $80$
b. le quart de $96$
c. $84 \div 21$
d. $68 \div 17$
e. $4 \times 29{,}5$
f. Simplifier $96/24$, puis $72/18$

Atelier — quatre copies à expertiser

Qui a raison ?

Quatre élèves travaillent sur la même figure : $A$, $O$, $M$ sont alignés, $B$, $O$, $N$ sont alignés, $O$ est entre $A$ et $M$ ainsi qu’entre $B$ et $N$. On donne $OA = 6$ cm, $OM = 4$ cm et $OB = 9$ cm, et on cherche $ON$.

L’énoncé précise que $(AB) \parallel (MN)$.

Salomé : Sur ma figure, $(AB)$ et $(MN)$ ont l’air parallèles. Donc
$\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON}$ et $ON = 6$ cm.

Noé : D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{OA}{ON} = \dfrac{OB}{OM}$,
donc $\dfrac{6}{ON} = \dfrac{9}{4}$ et $ON = \dfrac{6 \times 4}{9} \approx 2{,}7$ cm.

Théo : D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON}$,
donc $ON = \dfrac{6 \times 9}{4} = 13{,}5$ cm.

Anaïs : Les points $A$, $O$, $M$ sont alignés, les points $B$, $O$, $N$
aussi, et $(AB) \parallel (MN)$. D’après le théorème de Thalès,
$\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON}$, donc $\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{ON}$ et
$ON = \dfrac{4 \times 9}{6} = 6$ cm.

Une seule de ces quatre copies est entièrement correcte. Laquelle ?
Pour chacune des trois autres, dis précisément ce qui ne va pas. Attention : une copie peut donner le bon résultat et être fausse quand même.
Sans refaire le calcul, explique comment on pouvait voir tout de suite que $13{,}5$ cm est impossible.

Problèmes

Mesurer par-dessus l'étang

Deux bornes $A$ et $B$ sont plantées de part et d’autre de l’étang de Biguglia. On ne peut pas mesurer $AB$ directement : il y a l’eau entre les deux. Mais depuis un point $O$ de la rive, on peut rejoindre $A$ et $B$ à pied en longeant l’eau.

$La visée depuis $O$, et les deux piquets $M$ et $N$$

Une géomètre mesure $OA = 84$ m et $OB = 68$ m. Elle plante ensuite un piquet $M$ dans le prolongement de $[AO]$ au-delà de $O$, avec $OM = 21$ m, et un piquet $N$ dans le prolongement de $[BO]$ au-delà de $O$, avec $ON = 17$ m. Elle mesure enfin $MN = 29{,}5$ m.

Démontre que $(MN)$ est parallèle à $(AB)$.
Calcule la largeur $AB$ de l’étang entre les deux bornes.
Pourquoi avoir choisi $21$ m et $17$ m, plutôt que d’autres longueurs ?

Où percer la barre ?

Une barrière de chantier est faite de barres croisées, toutes de $90$ cm, et toutes percées au même endroit. Les extrémités basses reposent au sol, les extrémités hautes portent une lisse parallèle au sol.

Le fabricant veut que l’écartement en haut soit le double de l’écartement en bas.

À quelle distance de l’extrémité basse doit-il percer le trou ?