Séance 4 — Théorème ou réciproque : choisir
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Choisir entre le théorème et sa réciproque, et rédiger la démonstration correspondante
Automatismes
- a. Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit \(5\) cm et \(12\) cm. Combien mesure son hypoténuse ?
- b. Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(13\) cm et un côté de \(5\) cm. Combien mesure le troisième côté ?
- c. Un triangle a pour côtés \(6\) cm, \(8\) cm et \(10\) cm. Est-il rectangle ?
- d. Convertir \(0{,}75\) m en cm, puis \(250\) cm en m.
- e. \(I\), \(L\), \(S\) sont alignés, \(J\), \(L\), \(T\) sont alignés, \(L\) est entre \(I\) et \(S\) ainsi qu’entre \(J\) et \(T\), et \((IJ) \parallel (ST)\). Écrire les trois rapports égaux.
Correction et synthèse
Quel outil pour quelle question
Quel outil pour quelle question
| Ce que l’énoncé donne | Ce qu’on cherche | L’outil |
|---|---|---|
| le parallélisme et des longueurs | une longueur | le théorème de Thalès |
| des longueurs seulement | montrer que deux droites sont parallèles | la réciproque |
| des longueurs seulement | montrer que deux droites ne sont pas parallèles | des rapports différents |
Dans tous les cas, l’alignement des points et la position du point de croisement se vérifient d’abord.
Le piège du raisonnement circulaire
Le piège du raisonnement circulaire
On ne peut pas démontrer un parallélisme en partant du théorème de Thalès : le théorème suppose le parallélisme. S’en servir pour le conclure, c’est supposer ce qu’on veut prouver.
Pour démontrer un parallélisme, il n’y a qu’une porte d’entrée : la réciproque.
Exercices
Sans calculer, dire quel outil
Sans calculer, dire quel outil
Dans chaque situation, dire quel outil convient — le théorème, la réciproque, ou aucun des deux — sans faire aucun calcul.
a. On sait que \((AB) \parallel (MN)\), on connaît \(OA\), \(OM\) et \(OB\), on cherche \(ON\). b. On connaît \(OA\), \(OM\), \(OB\) et \(ON\), et on veut savoir si \((AB)\) et \((MN)\) sont parallèles. c. On sait que \((AB) \parallel (MN)\), on connaît \(AB\), \(MN\) et \(OA\), on cherche \(OM\). d. On connaît toutes les longueurs, mais les points \(A\), \(O\) et \(M\) ne sont pas alignés. e. On connaît \(OA\), \(OM\), \(OB\) et \(ON\), et on a trouvé \(\dfrac{OA}{OM} = 0{,}8\) et \(\dfrac{OB}{ON} = 0{,}9\). Que peut-on affirmer ?
L'angle droit en prime
L'angle droit en prime
Sur la figure, le triangle \(OAB\) est rectangle en \(A\). Les points \(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, les points \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, \(O\) est entre \(A\) et \(M\) ainsi qu’entre \(B\) et \(N\), et \((MN) \parallel (AB)\).
On donne \(OA = 6\) cm, \(AB = 8\) cm et \(OM = 9\) cm.
- Calcule \(OB\).
- Calcule \(ON\), puis \(MN\).
- Démontre que le triangle \(OMN\) est rectangle en \(M\).
- Vérifie ce résultat par un calcul.
Le portillon de l'enclos
Le portillon de l'enclos
Un portillon d’enclos est fait de deux lattes croisées, boulonnées l’une à l’autre en \(O\). La première mesure \(120\) cm et le trou est percé à \(72\) cm d’une de ses extrémités ; la seconde mesure \(90\) cm et le trou est percé à \(52\) cm d’une de ses extrémités.
La traverse du bas relie les deux extrémités basses \(A\) et \(B\) des lattes, la traverse du haut relie les deux extrémités hautes \(M\) et \(N\).
Ces deux traverses sont-elles parallèles ?
Deux longueurs d'un coup
Deux longueurs d'un coup
\(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, \(O\) est entre \(A\) et \(M\) ainsi qu’entre \(B\) et \(N\), et \((AB) \parallel (MN)\).
On donne \(OA = 4{,}8\) cm, \(OM = 7{,}2\) cm, \(OB = 5{,}5\) cm et \(AB = 6{,}4\) cm.
- Calcule \(ON\) et \(MN\).
- Par combien toutes les longueurs de l’aile \(OAB\) sont-elles multipliées pour donner celles de l’aile \(OMN\) ?