Séance 2 — Calculer une longueur

Objectif de la séance

Calculer une longueur manquante dans une configuration papillon

Automatismes

a. $8 \times 15 \div 4$
b. $7 \times 12 \div 6$
c. $5 \times 9 \div 15$
d. $0{,}25 \times 12$
e. $1{,}2 \div 0{,}4$
f. Dans un triangle $RST$, $U$ est sur $[RS]$, $V$ sur $[RT]$ et $(UV) \parallel (ST)$. Écrire les trois rapports égaux.

Méthode

Rédiger un calcul de longueur

1. Vérifier et annoncer les hypothèses. Les points sont alignés, $O$ est entre eux, les droites sont parallèles. Si l’énoncé ne donne pas le parallélisme, il n’y a rien à calculer.

2. Écrire l’égalité des rapports, en recopiant la figure lettre par lettre — et seulement les deux rapports dont on a besoin.

3. Remplacer par les longueurs connues, une seule inconnue restant.

4. Calculer par le produit en croix, puis contrôler la vraisemblance : si l’aile du bas est plus grande que celle du haut, toutes ses longueurs le sont.

La chambre noire

Léa perce un petit trou dans une boîte en carton et tend une feuille de papier calque au fond. La lumière traverse le trou en ligne droite : le haut du panneau qu’elle vise se retrouve en bas de l’image.

$Le panneau, le trou $O$, l’image sur le calque$

Le panneau $[AB]$ mesure $1{,}20$ m de haut. Son pied $B$, le trou $O$ et le point $N$ du calque sont alignés : c’est l’axe de visée. Le trou est à $3$ m du panneau, et le calque à $0{,}25$ m derrière le trou. Le calque est parallèle au panneau.

Quelle est la hauteur $MN$ de l’image ?

Les points $A$, $O$, $M$ sont alignés, les points $B$, $O$, $N$ sont alignés, $O$ est entre $A$ et $M$ ainsi qu’entre $B$ et $N$, et $(AB) \parallel (MN)$. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{OB}{ON} = \dfrac{AB}{MN} \quad \text{donc} \quad \dfrac{3}{0{,}25} = \dfrac{1{,}20}{MN}\]

\[MN = \dfrac{0{,}25 \times 1{,}20}{3} = 0{,}10 \text{ m}\]

L’image mesure $10$ cm de haut : douze fois plus petite que le panneau, comme le calque est douze fois plus près du trou.

Remarque

Le schéma de la chambre noire n’est pas à l’échelle : à l’échelle, l’image serait minuscule et illisible. C’est le cas de presque toutes les figures de problèmes concrets — les mesures de l’énoncé priment toujours sur ce que l’œil croit voir sur le dessin.

Exercices

Quatre calculs

Dans chaque cas, $A$, $O$, $M$ sont alignés, $B$, $O$, $N$ sont alignés, $O$ est entre $A$ et $M$ ainsi qu’entre $B$ et $N$, et $(AB) \parallel (MN)$. Calcule la longueur demandée.

a. $OA = 3$ cm, $OM = 7{,}5$ cm, $OB = 4$ cm. Calculer $ON$. b. $OA = 5{,}4$ cm, $OM = 3{,}6$ cm, $AB = 8{,}1$ cm. Calculer $MN$. c. $OA = 2{,}5$ cm, $OB = 4$ cm, $ON = 6$ cm. Calculer $OM$. d. $AB = 14$ cm, $MN = 21$ cm, $OA = 6$ cm. Calculer $OM$.

Les mêmes questions, d'autres lettres

On reprend la figure 1 de la séance 1 : $E$, $K$, $G$ sont alignés, $F$, $K$, $H$ sont alignés, $K$ est entre $E$ et $G$ ainsi qu’entre $F$ et $H$, et $(EF) \parallel (GH)$.

On donne $KE = 5{,}2$ cm, $KG = 7{,}8$ cm, $KF = 4$ cm et $EF = 6{,}5$ cm.

Calcule $KH$.
Calcule $GH$.

Le séchoir à linge

Un séchoir à linge est formé de deux barres croisées, fixées l’une à l’autre en $O$. Les pieds touchent le sol en $A$ et en $B$ ; les extrémités hautes $M$ et $N$ portent la barre du haut, parallèle au sol.

On mesure $OA = 52$ cm, $OM = 39$ cm et $AB = 80$ cm.

Quel est l’écartement $MN$ des deux barres en haut ?

Régler la chambre noire

Léa reprend sa boîte de l’exemple. Le panneau mesure toujours $1{,}20$ m et le trou est toujours à $3$ m du panneau. Elle voudrait une image de $15$ cm de haut.

À quelle distance du trou doit-elle placer le calque ?