Séance 3 — La réciproque : démontrer un parallélisme

Objectif de la séance

Démontrer que deux droites sont parallèles à l’aide de la réciproque, en configuration papillon ; Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Automatismes

a. \(3/4\) et \(9/12\) sont-elles égales ?
b. \(5/8\) et \(7/11\) sont-elles égales ?
c. \(2{,}4/3{,}6\) et \(4/6\) sont-elles égales ?
d. \(18/12\) et \(27/18\) sont-elles égales ? Puis, à l’oral : donner l’écriture décimale de \(\dfrac{3}{4}\), de \(\dfrac{5}{4}\) et de \(\dfrac{7}{2}\).

Trace écrite

Jusqu’ici, le parallélisme était donné et servait à calculer une longueur. On va faire l’inverse : partir des longueurs pour démontrer un parallélisme.

L’ordre des points décide, à rapports égaux

Réciproque du théorème de Thalès, configuration papillon

Si les points \(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, si les points \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, si \(O\) est entre \(A\) et \(M\) ainsi qu’entre \(B\) et \(N\), et si

\[\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON}\]

alors les droites \((AB)\) et \((MN)\) sont parallèles.

Les rapports ne suffisent pas : l’ordre des points aussi

Deux vérifications, pas une

La condition sur les rapports ne suffit pas seule : il faut aussi que les points soient placés dans le bon ordre, \(O\) entre \(A\) et \(M\), et \(O\) entre \(B\) et \(N\).

Si \(N\) était du même côté de \(O\) que \(B\), on pourrait très bien avoir \(\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON}\) sans que \((AB)\) et \((MN)\) soient parallèles. Vérifier l’ordre des points fait partie de la démonstration.

Démontrer que deux droites sont parallèles

1. Vérifier l’alignement et l’ordre des points.

2. Calculer les deux rapports séparément, chacun sur sa ligne, sous forme de fraction irréductible ou d’écriture décimale — jamais l’un sous une forme et l’autre sous l’autre.

3. Comparer, puis conclure :

rapports égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles ;
rapports différents : les droites ne sont pas parallèles, car si elles l’étaient, le théorème de Thalès imposerait l’égalité.

Deux cas

\(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, et \(O\) est entre \(A\) et \(M\) ainsi qu’entre \(B\) et \(N\).

Cas 1. \(OA = 3\) cm, \(OM = 4{,}5\) cm, \(OB = 4\) cm, \(ON = 6\) cm.

\(\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{OB}{ON} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

Les deux rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((AB) \parallel (MN)\).

Cas 2. \(OA = 3\) cm, \(OM = 4{,}5\) cm, \(OB = 4\) cm, \(ON = 5{,}5\) cm.

\(\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\)

\(\dfrac{OB}{ON} = \dfrac{4}{5{,}5} \approx 0{,}727\)

Les deux rapports sont différents : les droites \((AB)\) et \((MN)\) ne sont pas parallèles.

Remarque

Dans le cas 2, la conclusion est négative et pourtant elle est démontrée. Écrire « on ne peut pas appliquer la réciproque » ne suffirait pas : on sait quelque chose de plus, à savoir que les droites ne sont pas parallèles.

Exercices

Le fabricant de tables

On reprend la table pliante de l’activité. Les deux barres mesurent \(100\) cm et \(80\) cm. Le fabricant perce le trou du boulon à \(60\) cm du pied sur la barre de \(100\) cm, et à \(48\) cm du pied sur la barre de \(80\) cm.

Le plateau sera-t-il parallèle au sol ?

Un autre fabricant

Un concurrent utilise les mêmes barres, \(100\) cm et \(80\) cm, et perce le premier trou au même endroit, à \(60\) cm du pied. Mais sur la barre de \(80\) cm, il perce à \(45\) cm du pied.

Le plateau de sa table sera-t-il parallèle au sol ? Que se passera-t-il ?

Parallèles ou non ?

Dans chaque cas, \(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, et \(O\) est entre \(A\) et \(M\) ainsi qu’entre \(B\) et \(N\). Les droites \((AB)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ? Rédige ta réponse.

a. \(OA = 2{,}4\) cm, \(OM = 3{,}6\) cm, \(OB = 3\) cm, \(ON = 4{,}5\) cm. b. \(OA = 5\) cm, \(OM = 7\) cm, \(OB = 6\) cm, \(ON = 8{,}4\) cm. c. \(OA = 4{,}2\) cm, \(OM = 2{,}8\) cm, \(OB = 5{,}4\) cm, \(ON = 3{,}8\) cm.