Séance 1 — Du triangle emboîté au papillon

Objectif de la séance

Reconnaître une configuration papillon et vérifier que ses hypothèses sont réunies ; Énoncer le théorème de Thalès en configuration papillon et écrire ses trois rapports égaux

Automatismes

a. Un tableau de proportionnalité fait correspondre $3$ à $12$. À quoi correspond $7$ ?
b. Un autre fait correspondre $5$ à $8$. À quoi correspond $15$ ?
c. Simplifier $45/30$, puis $48/32$, puis $36/24$.
d. Calculer $60 \times 30 \div 45$.
e. Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $6$ cm et $8$ cm. Combien mesure son hypoténuse ?

Mise en commun de l’activité

L’activité s’est arrêtée sur une conjecture et une gêne :

Sur toutes les figures de la classe, $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON} = \dfrac{AB}{MN}$.

Rien de tout cela n’est démontré, et la configuration de 4e ne s’applique pas.

Trace écrite

Configuration papillon

Deux droites se coupent en $O$. On place $A$ et $M$ sur la première, $B$ et $N$ sur la seconde, de sorte que :

les points $A$, $O$, $M$ sont alignés, et $O$ est entre $A$ et $M$ ;
les points $B$, $O$, $N$ sont alignés, et $O$ est entre $B$ et $N$.

Les deux triangles $OAB$ et $OMN$ sont alors opposés par le sommet $O$ : la figure ressemble à un papillon.

La configuration papillon

Remarque

Rien n’oblige $O$ à être le milieu de $[AM]$ ni de $[BN]$. Sur la figure ci-dessus, les deux ailes du papillon n’ont d’ailleurs pas la même taille.

Théorème de Thalès, configuration papillon

Si les points $A$, $O$, $M$ sont alignés, si les points $B$, $O$, $N$ sont alignés, et si les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors

\[\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON} = \dfrac{AB}{MN}\]

Apparier les points, sans les mélanger

Les points $A$ et $M$ sont sur une même sécante ; $B$ et $N$ sur l’autre. Une fraction se forme donc avec deux longueurs mesurées depuis $O$ vers des points d’une même sécante. Le troisième rapport, lui, compare les deux segments parallèles.

$\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON} = \dfrac{AB}{MN}$ — vraie

$\dfrac{OA}{ON} = \dfrac{OB}{OM}$ — fausse : $A$ et $N$ ne sont pas sur la même sécante, ni $B$ et $M$.

Retourner les trois fractions à la fois donne la même égalité, tout aussi juste. Ce qu’il faut éviter est d’apparier deux points qui ne sont pas sur la même sécante.

Démonstration

Ramener le papillon au cas connu

On appelle $A'$ et $B'$ les symétriques de $A$ et de $B$ par rapport à $O$.

$Le triangle $OA'B'$ est emboîté dans le triangle $OMN$$

Étape 1. Comme $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$, le point $A'$ est sur la demi-droite $[OM)$ et $OA' = \trouM{OA}$. De même, $B'$ est sur la demi-droite $[ON)$ et $OB' = \trouM{OB}$.

Étape 2. Une symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle, et conserve les longueurs. Donc $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$, et $A'B' = \trouM{AB}$.

Étape 3. Or $(AB)$ est parallèle à $(MN)$. Deux droites parallèles à une même troisième étant parallèles entre elles, $(A'B')$ est parallèle à $(MN)$.

Étape 4. Dans le triangle $OMN$, le point $A'$ est sur $[OM)$, le point $B'$ est sur $[ON)$, et $(A'B')$ est parallèle à $(MN)$ : c’est la configuration des triangles emboîtés, celle de la 4e. Le théorème de Thalès donne donc

\[\dfrac{OA'}{OM} = \dfrac{OB'}{ON} = \dfrac{A'B'}{MN}\]

Étape 5. Il ne reste qu’à remplacer $OA'$ par $OA$, $OB'$ par $OB$ et $A'B'$ par $AB$, ce que permet l’étape 1 :

\[\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{ON} = \dfrac{AB}{MN}\]

Exercices

Cherchés à la maison, corrigés en ouverture de la séance 2.

Reconnaître

Trois configurations

Dans laquelle de ces trois figures reconnaît-on une configuration papillon ?
Dans laquelle le théorème de Thalès peut-il s’appliquer ? Justifie.
Pour celle qui reste, explique ce qui manque.

Écrire les rapports

Sur la figure 1 de l’exercice précédent, recopie et complète les trois rapports égaux, sans faire aucun calcul :

\[\dfrac{KE}{\dots} = \dfrac{\dots}{KH} = \dfrac{\dots}{\dots}\]

Première application

$A$, $O$, $M$ sont alignés, $B$, $O$, $N$ sont alignés, $O$ est entre $A$ et $M$ ainsi qu’entre $B$ et $N$, et $(AB) \parallel (MN)$.

On donne $OA = 4$ cm, $OM = 6$ cm et $OB = 5$ cm. Calcule $ON$.