Séance 3 — Translation et parallélogramme

Objectif de la séance

Faire le lien entre translation et parallélogramme

Automatismes

a. Que peut-on dire des côtés opposés d’un parallélogramme ?
b. Que peut-on dire de ses diagonales ?
c. $ABCD$ est un parallélogramme : $[AB]$ est-il parallèle à $[CD]$ ou à $[BC]$ ?
d. Un glissement mène $A$ en $B$ et $M$ en $M'$ : que dire de $[AB]$ et de $[MM']$ ?
e. Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur : quel est-il ?

Trace écrite

Une translation fabrique des parallélogrammes

$Le glissement qui mène $A$ en $B$ mène $M$ en $M'$$

Si $M'$ est l’image de $M$ par le glissement qui mène $A$ en $B$, alors $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur.

Le quadrilatère $ABM'M$ est donc un parallélogramme.

L'ordre des lettres

On écrit $ABM'M$, en tournant autour de la figure — et non $ABMM'$, qui décrirait un quadrilatère croisé.

Pour ne pas se tromper : partir d’un sommet et suivre le contour, sans jamais traverser la figure.

Et réciproquement

Du parallélogramme à la translation

Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $D$ est l’image de $C$ par le glissement qui mène $A$ en $B$.

Les deux énoncés disent la même chose, dans les deux sens.

Remarque

Ce lien est ce qui permet de construire une image sans quadrillage : on trace la parallèle à $(AB)$ passant par $M$, puis on reporte la longueur $AB$ au compas. La construction est celle du parallélogramme de 5e, et elle n’a pas changé.

Exercices

Série 1 — Nommer le parallélogramme

Dans chaque cas, le point $N$ est l’image de $M$ par le glissement qui mène $P$ en $Q$. Écris le nom du parallélogramme obtenu, dans le bon ordre.

a. $M$, $N$, $P$, $Q$ quelconques. b. Le glissement mène $R$ en $S$, et $T$ a pour image $U$. c. Le glissement mène $E$ en $F$, et $G$ a pour image $H$.

Série 2 — Construire sans quadrillage

Trace deux points $A$ et $B$ distants de $6$ cm, puis un point $M$ qui n’est pas sur la droite $(AB)$.
Construis le point $M'$, image de $M$ par le glissement qui mène $A$ en $B$, en utilisant le parallélogramme.
Vérifie à la règle que $MM' = 6$ cm.
Que peux-tu dire des droites $(AB)$ et $(MM')$ ?

Série 3 — Démontrer

$ABCD$ est un parallélogramme. On appelle $E$ l’image de $D$ par le glissement qui mène $A$ en $B$.

Fais un croquis.
Que peux-tu dire de $[AB]$ et de $[DE]$ ?
Que peux-tu dire de $[AB]$ et de $[DC]$ ?
Déduis-en la position du point $E$.