Séance 2 — Construire l’image d’une figure

Objectif de la séance

Construire l’image d’un point et d’une figure par une translation ; Connaître ce qu’une translation conserve

Automatismes

a. Un glissement mène \(A(1\,;1)\) sur \(A'(4\,;3)\) : décris-le.
b. Applique ce glissement à \(B(2\,;5)\).
c. Combien de sommets faut-il construire pour l’image d’un triangle ?
d. Et pour l’image d’un pentagone ?
e. Une translation conserve-t-elle les aires ?

Trace écrite

Construire l'image d'une figure

On reporte le glissement sur chaque sommet

On lit le glissement : combien de carreaux horizontalement, combien verticalement, et dans quel sens.
On construit l’image de chaque sommet, un par un.
On relie les images obtenues, dans le même ordre que sur la figure de départ.

On ne relie qu’à la fin, jamais avant.

Tous les sommets, sans exception

Placer deux sommets puis compléter à main levée donne une figure qui ressemble à l’image sans en être une. Rien ne le signale : ni le dessin, ni l’énoncé.

Le contrôle qui rattrape : les segments \([AA']\), \([BB']\), \([CC']\) doivent être parallèles et de même longueur. S’ils ne le sont pas, un sommet a été mal placé.

Remarque

Un logiciel de géométrie dynamique construit l’image d’un seul geste, et l’on peut ensuite déplacer la figure de départ pour voir l’image suivre. C’est le meilleur moyen de vérifier qu’une propriété tient toujours, et non pour un seul dessin.

Constructions

Série 1 — Sur quadrillage

Sur du papier quadrillé, place les points suivants, puis construis l’image de la figure par le glissement indiqué.

a. Triangle \(ABC\) avec \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;2)\), \(C(2\,;4)\) ; glissement de \(5\) vers la droite et \(2\) vers le haut. b. Quadrilatère \(DEFG\) avec \(D(1\,;1)\), \(E(3\,;1)\), \(F(4\,;3)\), \(G(1\,;4)\) ; glissement de \(6\) vers la droite. c. Triangle \(HIJ\) avec \(H(2\,;6)\), \(I(5\,;6)\), \(J(3\,;8)\) ; glissement de \(1\) vers la droite et \(4\) vers le bas.

Série 2 — Retrouver le glissement

Dans chaque cas, la figure et son image sont données. Décris le glissement.

a. \(A(2\,;3)\) a pour image \(A'(2\,;8)\). b. \(B(7\,;4)\) a pour image \(B'(1\,;4)\). c. \(C(0\,;5)\) a pour image \(C'(3\,;2)\). d. \(D(4\,;4)\) a pour image \(D'(4\,;4)\).

Analyser une construction

Pour construire l’image du triangle \(ABC\) par un glissement de \(4\) vers la droite, Lucas a placé \(A'\) et \(B'\) correctement, puis a dessiné \(C'\) à main levée.

Sur son dessin, les segments \([AA']\), \([BB']\) et \([CC']\) ont-ils la même longueur ? Comment le vérifier ?
Que devrait-il faire pour placer \(C'\) correctement ?
La figure de Lucas a-t-elle la même aire que \(ABC\) ? Est-elle pour autant son image ?