Séance 7 — Programmes de calcul et algorithmes

Objectif de la séance

Exécuter pas à pas un algorithme de calcul et donner le résultat qu’il produit

Automatismes

a. \(315\) est-il divisible par \(5\) ? par \(2\) ?
b. \(29 = \ldots \times 6 + \ldots\)
c. \(7,5 + 2,8\)
d. \(460 \div 10\)
e. Reste de la division euclidienne de \(100\) par \(9\) ?

Le cours

Programme de calcul, algorithme

Un programme de calcul est une suite d’instructions à exécuter dans l’ordre où elles sont écrites, à partir d’un nombre choisi au départ.

Un algorithme est une suite finie d’instructions non ambiguës : deux personnes qui l’exécutent sur le même nombre de départ trouvent le même résultat.

Un programme, et l’expression qui le résume

L'algorithme de calcul d'une expression

C’est exactement ce que fait une calculatrice de collège :

Calculer ce qui est entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
Effectuer les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
Effectuer les additions et les soustractions, de gauche à droite.

L’ordre des opérations, écrit comme un algorithme

Exécuter l'algorithme sur une expression

\(50 - 2 \times (3 + 4) \div 7\)

Étape 1 : \(50 - 2 \times 7 \div 7\) Étape 2 : \(50 - 14 \div 7\), puis \(50 - 2\) Étape 3 : \(48\)

Traduire un programme de calcul en une expression

J’écris le nombre choisi, puis j’applique les instructions dans l’ordre, en entourant à chaque étape le résultat précédent par des parenthèses lorsque l’instruction suivante est une multiplication ou une division.

Choisir 6, ajouter 7, multiplier par 4

\(6 \to (6 + 7) \to (6 + 7) \times 4\), soit \(13 \times 4 = 52\).

Sans parenthèses, \(6 + 7 \times 4\) donnerait \(34\) : ce n’est pas le même programme.

Au tableur

Dans un tableur, ce programme s’écrit dans une cellule sous la forme =(A1+7)*4. Les parenthèses y sont obligatoires pour la même raison que dans le cahier.

Exercices

Exercice 1 — Exécuter

Programme P : choisis un nombre ; multiplie-le par \(3\) ; enlève \(5\) ; divise par \(2\).

Complète le tableau.

Nombre choisi	\(5\)	\(9\)	\(11\)
Résultat

Écris en une seule expression le calcul effectué pour le nombre \(9\).

Exercice 2 — Remonter le programme

Avec le programme P de l’exercice 1, quel nombre faut-il choisir pour obtenir \(20\) ?

Exercice 3 — Deux programmes

Programme A : choisis un nombre ; ajoute \(4\) ; multiplie par \(2\). Programme B : choisis un nombre ; multiplie par \(2\) ; ajoute \(8\).

Applique les deux programmes à \(3\), puis à \(10\).
Que remarques-tu ?
Explique pourquoi, en utilisant la distributivité.

Exercice 4 — Le programme mystère

Choisis un nombre ; ajoute \(4\) ; multiplie par \(2\) ; enlève \(8\) ; divise par \(2\).

Teste-le avec \(7\), puis avec \(2,5\), puis avec un nombre de ton choix.
Que constates-tu ? Explique.

Travail à la maison

Réviser pour le QCM formatif de la séance 8 : relire les blocs propriété et attention des séances 1, 2, 5 et 6.