Séance 6 — La distributivité pour calculer astucieusement

Objectif de la séance

Utiliser la distributivité pour calculer astucieusement de tête

Automatismes

a. \(0,6 \times 7\)
b. \(40 \times 0,03\)
c. Décompose \(42\) en produit de deux facteurs, de deux façons.
d. \(138\) est-il divisible par \(2\) ? par \(10\) ?
e. Décompose \(63\) en produit de deux facteurs.

Situation d'entrée — le mur de carrelage

Un mur est carrelé sur \(4\) rangées. Chaque rangée comporte \(25\) carreaux blancs puis \(3\) carreaux bleus.

Combien de carreaux blancs en tout ? Combien de bleus ?
Combien de carreaux en tout ? Trouve deux façons différentes de le calculer, et écris chacune en une seule expression.

Le cours

Distributivité de la multiplication

Multiplier un nombre par une somme, c’est multiplier ce nombre par chaque terme, puis additionner les résultats.

\(4 \times (25 + 3) = 4 \times \trouM{25} + 4 \times \trouM{3}\)

De même avec une différence : \(7 \times (10 - 2) = 7 \times \trouM{10} - 7 \times \trouM{2}\)

La distributivité, vue sur un rectangle

Le facteur se distribue sur TOUS les termes

\(5 \times (20 + 3) = 5 \times 20 + 3\) est faux : le \(3\) doit lui aussi être multiplié par \(5\). On écrit \(5 \times 20 + 5 \times 3 = 115\).

Calculer astucieusement

Pour multiplier par un nombre proche d’une dizaine ou d’une centaine, je le décompose :

\(8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816\)
\(25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 2500 - 50 = 2450\)

Dans l’autre sens, quand un même facteur revient, je le mets en facteur :

\(6 \times 4,5 + 6 \times 5,5 = 6 \times (4,5 + 5,5) = 6 \times 10 = 60\)

Regrouper pour tomber sur un nombre rond

Plus tard

En 4e, cette propriété s’écrira avec des lettres et permettra de transformer des expressions littérales. Cette année, on l’utilise uniquement sur des nombres, pour calculer plus vite et plus sûrement.

Exercices

Exercice 1 — Compléter

Complète, sans calculer le résultat final.

a) \(6 \times (30 + 4) = 6 \times \ldots + 6 \times \ldots\) b) \(9 \times (50 - 1) = \ldots\) c) \(7 \times 12 + 7 \times 8 = 7 \times (\ldots + \ldots)\)

Exercice 2 — Calcul astucieux

Calcule de tête en écrivant l’étape de décomposition.

a) \(7 \times 101\) b) \(12 \times 99\) c) \(15 \times 4 + 15 \times 6\) d) \(4 \times 25 + 4 \times 75\)

Exercice 3 — La copie de Malo

Malo doit calculer \(5 \times (40 + 6)\). Il écrit :

\(5 \times (40 + 6) = 5 \times 40 + 6 = 200 + 6 = 206\)

Calcule \(5 \times (40 + 6)\) en commençant par la parenthèse.
Le résultat de Malo est-il le bon ?
S’il s’est trompé, explique ce qu’il a fait, et corrige sa première ligne.

Travail à la maison

Exercice 2 items a) et c). Trouver un calcul de la vie courante où la décomposition fait gagner du temps (par exemple \(12\) places à \(9,90\) €).