Séance 4 — Le rapport, les aires, et le bilan
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Utiliser le rapport de similitude et son effet sur les longueurs et les aires
Automatismes
- a. \(3^2\)
- b. \(0{,}5^2\)
- c. L’aire d’un carré de côté \(6\) cm
- d. Combien de centimètres carrés dans un mètre carré ?
- e. Le quart de \(20\)
Trace écrite
Passer d’un triangle à un triangle semblable, c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre : c’est donc une situation de proportionnalité. Les aires, elles, ne suivent pas la même règle.
Ce que multiplie le rapport
Ce que multiplie le rapport
Si deux triangles sont semblables de rapport \(k\), alors :
- toutes les longueurs du second sont celles du premier multipliées par \(k\) — côtés, hauteurs, périmètre ;
- les angles sont inchangés ;
- l’aire du second est celle du premier multipliée par \(k^2\).
Remarque
Remarque
La figure explique le carré. En doublant les longueurs, on ne double pas la surface : on peut y ranger \(4\) exemplaires du triangle de départ, et \(4\), c’est \(2^2\). Avec un rapport \(3\), on en rangerait \(9\).
C’est la reprise, sur les triangles semblables, de ce qui avait été vu en 4e sur les agrandissements et les réductions.
L'aire n'est pas proportionnelle à la longueur
L'aire n'est pas proportionnelle à la longueur
Le tableau des côtés de deux triangles semblables est un tableau de proportionnalité. Celui qui mettrait en regard un côté et l’aire ne l’est pas.
Un rapport \(1{,}5\) multiplie les côtés par \(1{,}5\) — et l’aire par \(2{,}25\), pas par \(1{,}5\).
Bilan de la séquence
Exercices
Deux triangles, une aire
Deux triangles, une aire
Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables, et l’on passe du premier au second avec un rapport de \(2{,}5\). L’aire du triangle \(ABC\) vaut \(12\) cm².
- Le côté \([AB]\) mesure \(6\) cm. Combien mesure \([A'B']\) ?
- Le périmètre de \(ABC\) vaut \(19\) cm. Quel est celui de \(A'B'C'\) ?
- Quelle est l’aire de \(A'B'C'\) ?
- Yanis répond \(30\) cm² à la question 3. A-t-il raison ? Explique en une phrase.
Du plan au terrain
Du plan au terrain
Sur le plan d’une commune, dessiné à l’échelle \(1/500\), une parcelle triangulaire a une aire de \(12\) cm².
- Par quel nombre faut-il multiplier les longueurs du plan pour obtenir les longueurs réelles ?
- Par quel nombre faut-il donc multiplier les aires ?
- Calcule l’aire réelle de la parcelle, en mètres carrés.
Vrai ou faux
Vrai ou faux
Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie en une phrase.
a. Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables. b. Deux triangles rectangles sont toujours semblables. c. Deux triangles isocèles ayant un angle de \(40^\circ\) sont toujours semblables. d. Si deux triangles sont semblables de rapport \(1\), alors ils sont superposables. e. Un triangle et son agrandissement ont le même périmètre.