Séance 1 — Reconnaître deux triangles semblables
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Décider si deux triangles sont semblables en testant la proportionnalité de leurs côtés ; Apparier correctement les sommets de deux triangles semblables, quelle que soit leur orientation
Automatismes
- a. \(3 \times 1{,}5\)
- b. Simplifier \(\dfrac{8}{6}\)
- c. \(6 \div 4\)
- d. Dans un tableau de proportionnalité, \(4\) correspond à \(6\). À quoi correspond \(2\) ?
- e. Ranger dans l’ordre croissant : \(6\) ; \(4{,}5\) ; \(5{,}5\)
Mise en commun de l’activité
L’activité s’est arrêtée sur un tri et une conjecture :
Deux voiles ont « la même forme » quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toutes les longueurs par un même nombre — pas en leur ajoutant la même longueur.
Dans la classe, deux triangles ayant les mêmes angles avaient aussi leurs côtés proportionnels. Rien de tout cela n’est démontré.
Trace écrite
Triangles semblables
Triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité s’appelle le rapport des deux triangles. On le note souvent \(k\).
Ici \(\frac{A'B'}{AB} = \frac{8}{6}\), \(\frac{B'C'}{BC} = \frac{4}{3}\) et \(\frac{C'A'}{CA} = \frac{6}{4{,}5}\) : ces trois quotients valent tous \(\frac{4}{3}\), donc les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables, de rapport \(k = \frac{4}{3}\).
Remarque
Remarque
Un rapport plus grand que \(1\) donne un agrandissement, un rapport plus petit que \(1\) une réduction, et un rapport égal à \(1\) deux triangles superposables. Deux triangles égaux sont donc un cas particulier de triangles semblables.
Décider si deux triangles sont semblables
Décider si deux triangles sont semblables
Les trois côtés du même triangle ne se comparent pas entre eux : chaque quotient compare un triangle à l’autre.
Étape 1. Ranger les trois côtés de chaque triangle du plus court au plus long, l’un sous l’autre.
Étape 2. Vérifier que le tableau ainsi obtenu est un tableau de proportionnalité.
Étape 3. Conclure : si le tableau est proportionnel, les triangles sont semblables et le coefficient est le rapport. Sinon, ils ne le sont pas.
Il faut que les trois quotients soient égaux. Deux sur trois ne suffisent pas.
L'ordre des sommets n'est pas celui des lettres
L'ordre des sommets n'est pas celui des lettres
Écrire « \(ABC\) et \(DEF\) sont semblables » veut dire que \(A\) correspond à \(D\), \(B\) à \(E\) et \(C\) à \(F\). Ce n’est vrai que si les côtés se correspondent dans cet ordre.
Deux sommets se correspondent quand ils sont entourés des mêmes côtés : le sommet compris entre le plus court et le plus long côté d’un triangle correspond au sommet compris entre le plus court et le plus long côté de l’autre.
\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CA}{C'A'}\) — à écrire : chaque quotient compare les deux triangles
\(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}\) — à ne pas écrire ici : ce quotient reste à l’intérieur d’un seul triangle
Exercices
Commencés en classe, terminés à la maison, corrigés en ouverture de la séance 2.
Trier
Trier
Voici trois paires de triangles. Pour chacune, dis si les deux triangles sont semblables, et donne le rapport quand ils le sont.
a. Triangle de côtés \(3\) ; \(5\) ; \(7\) et triangle de côtés \(9\) ; \(15\) ; \(21\). b. Triangle de côtés \(4\) ; \(6\) ; \(8\) et triangle de côtés \(6\) ; \(8\) ; \(10\). c. Triangle de côtés \(2{,}5\) ; \(4\) ; \(5\) et triangle de côtés \(10\) ; \(16\) ; \(20\).
Apparier les sommets
Apparier les sommets
Les triangles \(MNP\) et \(DEF\) ci-dessous sont semblables.
- Vérifie qu’ils sont bien semblables, et donne le rapport.
- Recopie et complète : le sommet \(M\) correspond au sommet \(\dots\), le sommet \(N\) au sommet \(\dots\), le sommet \(P\) au sommet \(\dots\).
- Recopie et complète, sans faire aucun calcul :
La copie de Yanis
La copie de Yanis
Yanis doit décider si un triangle de côtés \(6\) ; \(9\) ; \(12\) et un triangle de côtés \(8\) ; \(12\) ; \(16\) sont semblables. Voici sa copie :
\(12 - 6 = 6\) et \(16 - 8 = 8\), donc les différences ne sont pas les mêmes.
Les triangles ne sont pas semblables.
- La conclusion de Yanis est-elle juste ?
- Sa démarche est-elle correcte ? Si elle ne l’est pas, explique ce qui ne va pas et écris la démarche correcte.