Séance 2 — Même forme, mêmes angles

Objectif de la séance

Démontrer que deux triangles sont semblables à partir de deux angles égaux ; Justifier la caractérisation angulaire en reportant un triangle dans l’autre

Automatismes

a. La somme des angles d’un triangle
b. $180 - 120$
c. Un triangle a deux angles de $40^\circ$ et $60^\circ$. Le troisième ?
d. Un triangle rectangle a un angle de $30^\circ$. L’autre angle aigu ?
e. Deux parallèles coupées par une sécante : deux angles alternes-internes sont…

Ce que la classe a observé

À la question 3 de l’activité, tous les triangles construits avec un angle de $40^\circ$ et un angle de $65^\circ$ avaient leurs côtés proportionnels, quelle que soit la longueur choisie au départ. Une observation n’est pas une preuve : il est temps de démontrer.

Trace écrite

Caractérisation angulaire

Si deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.

Réciproquement, si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont égaux deux à deux.

Remarque

Deux angles suffisent. Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles de l’autre, les troisièmes le sont aussi, puisque la somme des angles d’un triangle vaut toujours $180^\circ$.

C’est ce qui rend cette propriété si commode : les longueurs demandent trois vérifications, les angles seulement deux.

Les angles égaux désignent les sommets qui se correspondent

Dire que les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont leurs angles égaux deux à deux, c’est dire que l’angle en $A$ égale l’angle en $A'$, l’angle en $B$ celui en $B'$, et l’angle en $C$ celui en $C'$. C’est cet ordre-là qui donne ensuite l’appariement des côtés.

Deux triangles dont les angles mesurent $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$ et $60^\circ$, $80^\circ$, $40^\circ$ sont bien semblables : ce sont les mêmes angles, écrits dans un autre ordre. Il reste à repérer lequel va avec lequel.

Démonstration

On se donne deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ dont les angles en $A$ et $A'$ sont égaux, et les angles en $B$ et $B'$ aussi. On veut montrer que leurs côtés sont proportionnels.

$À gauche, le triangle $ABC$ où l’on a reporté $AM = A'B'$ ; à droite, le triangle donné$

Reporter le petit triangle dans le grand

Étape 1. On place sur la demi-droite $[AB)$ le point $M$ tel que $AM = \trouM{A'B'}$, puis on trace la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ : elle coupe $[AC)$ en $N$.

Étape 2. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ étant parallèles, les angles $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont correspondants, donc égaux. Or l’angle en $B$ est égal à l’angle en $B'$ : les triangles $AMN$ et $A'B'C'$ ont donc le même angle en $M$ et en $B'$.

Étape 3. Ils ont aussi le même angle en $A$ et en $A'$, par hypothèse, et le côté $AM = A'B'$ compris entre ces deux angles. D’après le cas d’égalité vu en 4e — un côté et les deux angles qui lui sont adjacents — les triangles $AMN$ et $A'B'C'$ sont égaux. En particulier $AN = \trouM{A'C'}$ et $MN = \trouM{B'C'}$.

Étape 4. Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB)$, le point $N$ sur $[AC)$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ : c’est la configuration des triangles emboîtés. Le théorème de Thalès donne donc

\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\]

Étape 5. Il ne reste qu’à remplacer $AM$ par $A'B'$, $AN$ par $A'C'$ et $MN$ par $B'C'$, ce que permettent les étapes 1 et 3 :

\[\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}\]

Les côtés sont proportionnels : les deux triangles sont semblables.

Un mot d'histoire

Cette propriété est vieille de vingt-trois siècles : elle occupe le livre VI des Éléments d’Euclide, écrits vers $300$ avant notre ère, sous le nom de triangles « équiangles ». Le mot semblable y désigne déjà exactement ce que nous venons de définir — même forme, taille libre. C’est cette théorie des figures semblables qui a permis, bien avant la trigonométrie, de mesurer des hauteurs et des distances inaccessibles.

Exercices

Semblables ou non ?

Trois triangles, dont on ne connaît que deux angles

Calcule le troisième angle de chacun des trois triangles.
Parmi ces trois triangles, lesquels sont semblables ? Justifie.
Le triangle qui reste pourrait-il devenir semblable aux autres si on modifiait une seule de ses mesures d’angle ? Laquelle, et comment ?

Deux angles suffisent

Dans chaque cas, dis si l’on peut affirmer que les deux triangles sont semblables, et pourquoi.

a. $\widehat{A} = 55^\circ$, $\widehat{B} = 45^\circ$ ; $\widehat{D} = 55^\circ$, $\widehat{E} = 80^\circ$ b. $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 90^\circ$ ; $\widehat{D} = 90^\circ$, $\widehat{F} = 60^\circ$ c. $\widehat{A} = 62^\circ$ ; $\widehat{D} = 62^\circ$ d. $ABC$ est équilatéral, $DEF$ est équilatéral

Écrire la conclusion en entier

Les triangles $RST$ et $KLM$ ont leurs angles égaux deux à deux : l’angle en $R$ égale celui en $L$, l’angle en $S$ celui en $M$, l’angle en $T$ celui en $K$.

On donne $RS = 4$ cm, $ST = 6$ cm, $TR = 5$ cm et $LM = 10$ cm.

Écris les trois quotients égaux, en respectant l’appariement des sommets.
Calcule le rapport, puis les deux longueurs manquantes du triangle $KLM$.