Séance 3 — Calculer une longueur inaccessible
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Calculer une longueur inaccessible en utilisant deux triangles semblables
Automatismes
- a. \(2{,}5 \times 3\)
- b. Multiplier par \(0{,}5\) revient à diviser par…
- c. Un rapport vaut \(0{,}4\) : agrandissement ou réduction ?
- d. Simplifier \(\dfrac{15}{21}\)
- e. Un triangle rectangle a un angle de \(28^\circ\). L’autre angle aigu ?
Un exemple : la hauteur d’une tour génoise
Mesurer sans monter
Mesurer sans monter
Une tour génoise se dresse au bord de la mer. On ne peut ni y monter ni tendre un décamètre le long de sa paroi. Un jour de plein soleil, on mesure l’ombre de la tour au sol : \(17{,}5\) m. Au même moment, un bâton planté bien vertical, de \(1{,}50\) m de haut, projette une ombre de \(2{,}10\) m.
- Pourquoi les deux rayons de soleil dessinés sont-ils parallèles ?
- Repère les deux triangles rectangles de la figure. Montre qu’ils ont leurs angles égaux deux à deux.
- Range les côtés de chaque triangle et écris les quotients égaux.
- Calcule la hauteur de la tour.
Trace écrite
Calculer une longueur avec deux triangles semblables
Calculer une longueur avec deux triangles semblables
Étape 1. Démontrer que les deux triangles sont semblables, le plus souvent en trouvant deux angles égaux.
Étape 2. Apparier les sommets : écrire côte à côte les deux triangles, dans l’ordre donné par les angles égaux.
Étape 3. Écrire les quotients égaux. Chaque quotient compare les deux triangles, jamais deux côtés d’un même triangle.
Étape 4. Calculer par produit en croix, puis vérifier la vraisemblance : le grand triangle doit rester le grand.
Deux triangles semblables ne sont pas toujours en position de Thalès
Deux triangles semblables ne sont pas toujours en position de Thalès
Quand deux triangles se chevauchent, il est tentant d’écrire les quotients comme dans une configuration de Thalès. C’est légitime seulement si deux côtés sont parallèles. Sinon, l’appariement vient des angles égaux, et lui seul.
Exercices
Un angle commun
Un angle commun
Sur la figure, \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) un point de \([AC]\). Les angles \(\widehat{AMN}\) et \(\widehat{ACB}\) sont égaux.
- Quel angle les triangles \(AMN\) et \(ACB\) ont-ils en commun ?
- Démontre que les triangles \(AMN\) et \(ACB\) sont semblables.
- Recopie et complète, en respectant l’appariement des sommets : \(\frac{AM}{\dots} = \frac{AN}{\dots} = \frac{MN}{\dots}\)
- Calcule \(AN\), puis \(MN\).
La copie de Léa
La copie de Léa
Voici ce que Léa a écrit à la question 4 de l’exercice précédent :
Les triangles \(AMN\) et \(ACB\) sont semblables.
Donc \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\), c’est-à-dire \(\frac{3}{9} = \frac{AN}{6}\).
Donc \(AN = \frac{3 \times 6}{9} = 2\) cm.
- Le raisonnement de Léa est-il correct ? Si ce n’est pas le cas, où exactement est l’erreur ?
- S’il y a une erreur, explique ce qui a pu la conduire à écrire cela.
Le miroir posé au sol
Le miroir posé au sol
Pour mesurer un pin laricio sans l’abattre, on pose un petit miroir à plat sur le sol, puis on recule jusqu’à voir le sommet de l’arbre dans le miroir. La lumière se réfléchit alors en faisant deux angles égaux avec le sol.
Fatima a les yeux à \(1{,}60\) m du sol. Elle se place à \(1{,}80\) m du miroir, et le miroir est à \(27\) m du pied de l’arbre.
- Démontre que les deux triangles rectangles de la figure sont semblables.
- Calcule la hauteur de l’arbre.
- Fatima recule d’un mètre, sans que l’arbre ni son regard ne changent de hauteur. Dans quel sens doit-elle déplacer le miroir, et de combien ?