Séance 8 — Problèmes et bilan

Objectif de la séance

Résoudre un problème de position mettant en jeu l’égalité de deux distances ; Identifier les instructions d’un programme de construction, ses données et le rôle de leur ordre

Automatismes

a. La moitié de \(15\)
b. \(3\,200\) m en km
c. Un cercle a pour diamètre \(11\) cm : quel est son rayon ?
d. Que dit le sens 1 de la propriété de la médiatrice ?
e. Qu’est-ce qu’une corde ?

Bilan du chapitre

Les quatre outils du chapitre

Question posée	Objet à construire
Tous les points à \(r\) de \(O\) ?	le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\)
Tous les points à moins de \(r\) de \(O\) ?	le disque de centre \(O\) et de rayon \(r\)
Tous les points à égale distance de \(A\) et \(B\) ?	la médiatrice de \([AB]\)
Un point dont on connaît deux distances ?	l’intersection de deux cercles

À chaque question sur les distances, son objet

Un programme de construction est une séquence d'instructions

Une instruction est un ordre qui demande une action, et une seule : « trace le segment \([AB]\) », « place le milieu \(I\) ». Elle doit pouvoir s’exécuter sans rien deviner.

Une séquence d’instructions est une liste d’instructions exécutées dans l’ordre où elles sont écrites. Un programme de construction en est une.

ce qu’on donne au départ — les points, les longueurs — sont les données du programme, ce qu’on appelle ses entrées ;
la figure obtenue à la fin est son résultat, sa sortie.

Attention

Changer l’ordre des instructions change le programme. Le plus souvent, il ne s’exécute même plus : on ne peut pas tracer la médiatrice de \([AB]\) avant d’avoir tracé \([AB]\).

Exercices

Est-ce une instruction ?

Voici six lignes relevées dans des copies. Pour chacune, dis si c’est une instruction — un ordre qu’on peut exécuter tout de suite, sans rien deviner. Sinon, explique ce qui manque.

a. Trace le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\) cm. b. Le cercle est bien rond. c. Place un point \(M\). d. Trace la médiatrice de \([AB]\). e. Trace un cercle qui passe par \(A\). f. Combien mesure le rayon ?

Retour à la citerne

Reprends l’activité du début du chapitre. Deux hameaux, Poggio \(P\) et Casella \(C\), sont distants de \(5\) km. On reprend \(1\) cm pour \(1\) km.

Construis proprement l’ensemble des emplacements situés à \(3\) km de Poggio. Quel objet est-ce ?
Construis proprement l’ensemble des emplacements situés à égale distance des deux hameaux. Quel objet est-ce ? Quelle méthode utilises-tu ?
Combien d’emplacements respectent les deux règles à la fois ? Construis-les.
Pour chacun, quelle est sa distance à Casella ? Réponds sans mesurer.
Compare avec ce que tu avais trouvé au début du chapitre. Qu’est-ce que tu sais faire aujourd’hui que tu ne savais pas faire alors ?

Programme de construction

Exécute le programme suivant, puis réponds.

Trace un segment \([AB]\) tel que \(AB = 8\) cm.

Construis le milieu \(I\) de \([AB]\).

Trace le cercle de centre \(I\) passant par \(A\).

Construis la médiatrice de \([AB]\) ; elle coupe le cercle en \(E\) et \(F\).

Combien ce programme compte-t-il d’instructions ? Quelles sont ses données ?
Quel est le rayon du cercle tracé ? Justifie.
Le point \(B\) est-il sur ce cercle ?
Que peut-on dire du segment \([EF]\) pour ce cercle ?
Petru a exécuté les instructions dans l’ordre 3, 1, 2, 4. Que s’est-il passé ?
Écris à ton tour un programme de construction pour obtenir un cercle de centre \(O\), de rayon \(4\) cm, et une corde de \(6\) cm sur ce cercle.

La copie de Ghjuvan

On demande : « Trace un cercle de centre \(O\) et de diamètre \(6\) cm, puis place un point \(T\) tel que \(OT = 4\) cm. Le point \(T\) est-il sur le cercle ? »

Ghjuvan : « J’écarte le compas de \(6\) cm et je trace. Ensuite \(OT = 4\) cm, et \(4\) est plus petit que \(6\), donc \(T\) est à l’intérieur du cercle. »

La première étape de Ghjuvan est-elle correcte ?
Sa conclusion est-elle correcte ? Justifie en refaisant le raisonnement.
Où se trouve \(T\) : sur le cercle, à l’intérieur ou à l’extérieur ?
En une phrase, quel conseil lui donnerais-tu pour ce genre de question ?

La bouée de plongée

Un club de plongée pose une bouée de signalisation. Elle doit être à égale distance de deux épaves \(E_1\) et \(E_2\), distantes de \(700\) m, et à moins de \(500\) m de chacune.

On prend \(1\) cm pour \(100\) m.

Quelles longueurs traces-tu sur ton cahier ?
Construis la médiatrice de \([E_1E_2]\).
Colorie la portion de la médiatrice où la bouée peut être posée.
Ghjulia affirme : « il y a une infinité de positions possibles ». A-t-elle raison ?