Séance 7 — La propriété caractéristique de la médiatrice

Objectif de la séance

Justifier une égalité de longueurs ou une position à l’aide de la médiatrice

Automatismes

a. La moitié de \(13\)
b. \(1\) km en m
c. Quelles sont les deux conditions qui définissent la médiatrice ?
d. Un cercle a pour rayon \(6\) cm : quel est son diamètre ?
e. Comment note-t-on la distance de \(M\) à \(A\) ?

Trace écrite

Propriété caractéristique de la médiatrice

Elle se lit dans les deux sens, et les deux servent.

Sens 1. Si un point \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\), alors \(MA\) \(=\) \(MB\).

Sens 2. Si un point \(M\) vérifie \(MA = MB\), alors \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\).

Autrement dit : la médiatrice de \([AB]\) est l’ensemble de tous les points situés à égale distance de \(A\) et de \(B\).

Les deux sens, et ce que chacun donne

Remarque

Voilà l’objet qui manquait à la question 2 de l’activité. Les points bleus n’étaient pas alignés par hasard : ils sont tous à égale distance de \(P\) et de \(C\), donc tous sur la médiatrice de \([PC]\) — et il n’y en a pas d’autres.

Justifier une égalité de longueurs

Quand une figure porte une médiatrice, on obtient une égalité de distances sans rien mesurer :

\(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\), donc \(MA = MB\).

C’est le sens 1. Le sens 2 sert dans l’autre situation : on connaît deux distances égales et on en déduit une position.

Une égalité obtenue sans règle

Pourquoi la construction au compas fonctionne

Pourquoi la construction au compas fonctionne. En séance 6, on traçait deux arcs de même rayon, l’un de centre \(A\), l’autre de centre \(B\). Leur point d’intersection \(E\) est donc à la fois à ce rayon de \(A\) et à ce rayon de \(B\) : \(EA = EB\).

D’après le sens 2, \(E\) est sur la médiatrice de \([AB]\). Il en va de même pour \(F\). La droite \((EF)\) est donc bien la médiatrice.

La construction n’avait rien de magique : elle applique la propriété.

Exercices

Utiliser la propriété

\(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\) et \(MA = 4,2\) cm. Combien vaut \(MB\) ?
\(N\) vérifie \(NC = ND = 5\) cm. Que peut-on affirmer sur \(N\) ?
\(P\) est sur la médiatrice de \([EF]\) et \(PE = 3\) cm. Peut-on en déduire la longueur \(EF\) ?
\(I\) est le milieu de \([AB]\). \(I\) est-il sur la médiatrice de \([AB]\) ? Justifie de deux façons.

Le forage entre deux hameaux

Deux hameaux \(A\) et \(B\) sont distants de \(6\) km. La commune veut forer un puits à égale distance des deux hameaux, et à \(5\) km de \(A\).

Sur ton cahier, avec \(1\) cm pour \(1\) km, construis la médiatrice de \([AB]\).
Construis les emplacements possibles pour le puits.
Combien y en a-t-il ? Quelle est la distance du puits à \(B\) ?
Le maire ajoute que le puits doit être au nord de la route qui relie les deux hameaux. Combien reste-t-il d’emplacements ?

Le raisonnement de Léa

Sur une figure, \((d)\) est la médiatrice de \([AB]\), et \(M\) est un point de \((d)\).

Léa : « \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(MA = MB\). Et comme \(MA = MB\), le point \(M\) est le milieu de \([AB]\). »

La première phrase de Léa est-elle correcte ?
La seconde l’est-elle ? Fais un dessin pour appuyer ta réponse.
Quelle condition Léa a-t-elle oubliée ?
Dans quel cas particulier sa conclusion serait-elle vraie ?