Séance 4 — Le cercle, ensemble de points

Objectif de la séance

Dire si un point est sur un cercle, à l’intérieur ou à l’extérieur, d’après sa distance au centre

Automatismes

a. Le double de \(4,5\)
b. \(3\) km en m
c. \(250\) m en km
d. Un cercle a pour rayon \(2,5\) cm : quel est son diamètre ?
e. Comment note-t-on la distance entre \(A\) et \(B\) ?

Trace écrite

Le cercle vu comme un ensemble de points

Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\) cm est l’ensemble de tous les points \(M\) tels que \(OM = 3\) cm.

Deux choses à la fois, et il faut les deux :

tout point du cercle est à \(3\) cm de \(O\) ;
tout point situé à \(3\) cm de \(O\) est sur le cercle.

Le disque

Le disque de centre \(O\) et de rayon \(3\) cm est l’ensemble des points \(M\) tels que \(OM\) soit inférieure ou égale à \(3\) cm : \(OM \leqslant 3\) cm.

Le cercle est le bord du disque ; le disque contient en plus tous les points de l’intérieur.

Le cercle, son bord, et le disque qu’il entoure

Où se trouve un point ?

On connaît le rayon \(r\) du cercle de centre \(O\), et la distance \(OM\).

Si \(OM = r\), le point \(M\) est sur le cercle.
Si \(OM\) est plus petite que \(r\), \(M\) est à l’intérieur du cercle.
Si \(OM\) est plus grande que \(r\), \(M\) est à l’extérieur.

Trois points, trois positions

Sur cette figure, le rayon vaut \(3\) cm. \(M\) est sur le cercle, \(N\) est à l’intérieur, \(R\) est à l’extérieur.

Remarque

C’est cette définition qui répond à la question de l’activité : on sait maintenant décrire d’un seul coup tous les emplacements situés à \(3\) km de Poggio, sans avoir à les chercher un par un.

Exercices

Dedans, dessus, dehors

Un cercle a pour centre \(O\) et pour rayon \(4\) cm.

\(OA = 4\) cm. Où se trouve \(A\) ?
\(OB = 2,5\) cm. Où se trouve \(B\) ?
\(OC = 4,5\) cm. Où se trouve \(C\) ?
\(OD = 8\) cm et \(D\) appartient au cercle de centre \(O\) et de diamètre \(8\) cm. Est-ce possible ?
Un point \(E\) est à l’intérieur du disque. Que peux-tu dire de \(OE\) ?

La zone de l'antenne

Une antenne relais est installée au sommet du village. Elle couvre tous les points situés à moins de \(3\) km de l’antenne.

Trois maisons sont à \(2,8\) km, \(3\) km et \(3,4\) km de l’antenne.

Sur ton cahier, place l’antenne et trace la limite exacte de la zone couverte, avec \(1\) cm pour \(1\) km.
Comment s’appelle la figure que tu viens de tracer ? Et la zone couverte ?
Pour chacune des trois maisons, dis si elle capte le réseau.
Emma habite à \(3\) km pile de l’antenne. Sur la figure, où se trouve sa maison ? Que faudrait-il préciser dans l’énoncé pour savoir si elle capte ?

La figure de Fabio

On demande de tracer tous les points situés à \(2\) cm d’un point \(O\).

Fabio : « J’ai placé huit points à \(2\) cm de \(O\), tout autour. J’ai fini, il n’y en a pas d’autres. »

Les huit points de Fabio conviennent-ils ?
Fabio a-t-il raison de dire qu’il a fini ? Trouve un neuvième point.
Combien y a-t-il de points à \(2\) cm de \(O\) ?
Comment tracer d’un seul geste tous ces points ?