Séance 2 — Le milieu d’un segment

Objectif de la séance

Construire le milieu d’un segment et l’utiliser dans un calcul de longueur

Automatismes

a. \(\dfrac{3}{10}\) en écriture décimale
b. \(0,4\) en fraction décimale
c. La moitié de \(8\)
d. La moitié de \(7\) cm, en cm
e. \(1,2\) m en cm

Trace écrite

Milieu d'un segment

Le milieu du segment \([AB]\) est le point \(I\) qui vérifie les deux conditions suivantes :

\(I\) appartient au segment \([AB]\) ;
\(IA = IB\), c’est-à-dire que \(I\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\).

On code alors l’égalité \(IA = IB\) par un même petit trait sur \([IA]\) et sur \([IB]\).

Les deux conditions, et ce qui arrive quand l’une manque

Attention

Les deux conditions sont nécessaires. Un point à égale distance de \(A\) et de \(B\) n’est pas forcément le milieu : encore faut-il qu’il soit sur le segment.

Les autres points à égale distance de \(A\) et de \(B\) existent bel et bien — c’est ce que l’activité a montré, et la séance 6 les nommera.

Longueurs

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :

\[IA = IB = \dfrac{AB}{2} \qquad AB = 2 \times IA\]

Autrement dit, le milieu partage le segment en deux morceaux de même longueur.

Construire le milieu de [AB]

À la règle graduée. Mesurer \(AB\), calculer la moitié, puis reporter cette longueur depuis \(A\) sur le segment.

Au compas (plus précis, et sans calcul) : tracer deux arcs de même rayon, l’un de centre \(A\), l’autre de centre \(B\), en prenant un rayon plus grand que la moitié de \(AB\). Les deux arcs se coupent en deux points ; la droite qui les joint coupe \([AB]\) en son milieu.

Deux constructions, dont une sans calcul

Remarque

La deuxième méthode reviendra en séance 6 : c’est déjà la construction de la médiatrice, mais on n’en garde ici que le point d’intersection avec le segment.

Exercices

Calculer avec le milieu

\(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(AB = 9\) cm. Combien vaut \(IA\) ?
\(J\) est le milieu de \([CD]\) et \(JC = 3,5\) cm. Combien vaut \(CD\) ?
\(K\) est le milieu de \([EF]\), \(EF = 12,4\) cm. Combien vaut \(KF\) ?
\(L\) est le milieu de \([MN]\) et \(LM = LN = 4\) cm. Que vaut \(MN\) ? Un élève répond \(4\) cm : a-t-il raison ? Explique.

Construire et coder

Trace un segment \([AB]\) tel que \(AB = 7\) cm.

Construis son milieu \(I\) à la règle graduée, puis code la figure.
Trace un segment \([CD]\) tel que \(CD = 6,4\) cm et construis son milieu \(J\) au compas, sans mesurer.
Vérifie ta construction de la question 2 à la règle : que devrais-tu trouver pour \(JC\) ?

Le trésor de la tour génoise

Sur une plage, deux tours génoises \(T\) et \(G\) sont distantes de \(8\) km.

Un coffre est enterré à égale distance des deux tours.

Reproduis la situation sur ton cahier, avec \(1\) cm pour \(1\) km.
Anaïs affirme : « Le coffre est forcément au milieu de \([TG]\), donc à \(4\) km de chaque tour. » Place ce point.
Bilal place un point \(M\) nettement au-dessus du segment et affirme qu’il convient aussi. Vérifie au compas si \(MT = MG\) est possible pour un tel point.
Qui a raison ? Reformule précisément ce que dit l’énoncé.