Séance 5 — Trouver un point à partir de ses distances

Objectif de la séance

Placer un point dont on connaît les distances à deux points donnés

Automatismes

a. La moitié de \(7\)
b. \(1,5\) km en m
c. \(800\) m en km
d. Un cercle a pour diamètre \(9\) cm : quel est son rayon ?
e. Un point est à \(5\) cm du centre d’un cercle de rayon \(5\) cm : où est-il ?

Trace écrite

Placer un point dont on connaît deux distances

On cherche un point \(M\) tel que \(AM = 3\) cm et \(BM = 4\) cm.

Tous les points à \(3\) cm de \(A\) forment le cercle de centre \(A\) et de rayon \(3\) cm : le tracer.
Tous les points à \(4\) cm de \(B\) forment le cercle de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm : le tracer.
Le point cherché doit être sur les deux cercles à la fois : ce sont donc leurs points d’intersection.

Deux cercles, deux solutions

Ici, il y a deux solutions, \(M_1\) et \(M_2\).

Remarque

Le nombre de solutions dépend des distances. Si les deux cercles ne se coupent pas, il n’y a aucune solution : c’est le cas quand les deux rayons mis bout à bout ne suffisent pas à rejoindre \(A\) à \(B\).

Colorier une zone

Une condition du type « à moins de \(3\) cm de \(A\) » décrit un disque. Pour une zone définie par deux conditions, on trace les deux cercles, puis on colorie la partie qui vérifie les deux à la fois.

Exercices

Construire

Trace deux points \(A\) et \(B\) tels que \(AB = 5\) cm.

Construis les points \(M\) tels que \(AM = 3\) cm et \(BM = 4\) cm. Combien y en a-t-il ?
Construis les points \(N\) tels que \(AN = 2\) cm et \(BN = 2\) cm. Combien y en a-t-il ? Explique ce qui se passe.
Construis les points \(P\) tels que \(AP = 5\) cm et \(BP = 5\) cm. Combien y en a-t-il ?

Le mouillage du bateau

Un bateau de plongée doit mouiller sur un site précis. Le moniteur donne deux repères à terre : la tour génoise \(T\) et la pointe rocheuse \(R\), distantes de \(6\) km.

Le site est à \(4\) km de la tour et à \(5\) km de la pointe.

Construis la situation sur ton cahier, avec \(1\) cm pour \(1\) km.
Combien de points vérifient les deux conditions ?
Le moniteur ajoute : « et c’est au large, pas dans les terres. » Combien reste-t-il de possibilités ?
Pourquoi deux repères et deux distances valent-ils mieux qu’un seul repère et une seule distance ?

La zone de baignade

Sur une plage, un poste de secours \(S\) et une bouée \(B\) sont distants de \(80\) m.

La baignade est autorisée à moins de \(60\) m du poste de secours, et interdite à moins de \(30\) m de la bouée, où passent les bateaux.

Fais un dessin avec \(1\) cm pour \(20\) m. Quelles longueurs traces-tu ?
Colorie en vert la zone où la baignade est autorisée, et hachure en rouge la zone interdite autour de la bouée.
Un nageur est à \(50\) m du poste et à \(25\) m de la bouée. A-t-il le droit de se baigner ?
Un nageur est à \(70\) m du poste. Peut-il être dans la zone verte ?