Séance 3 — Quotient de deux nombres relatifs

Objectif de la séance

Calculer le quotient de deux nombres décimaux relatifs et passer d’une écriture fractionnaire à une autre

Automatismes

a. \(36 \div 4\)
b. \(4{,}8 \div 6\)
c. Compléter : \(\dots \times 6 = 42\)
d. Compléter : \(8 \times \dots = 5{,}6\)
e. Compléter : \(\dots \times 4 = 1\)

Recherche — diviser, c’est chercher un facteur

Compléter chaque égalité par le nombre qui convient.

\(\dots \times 3 = -12\)

\(\dots \times (-3) = -12\)

\(\dots \times (-3) = 12\)

\(\dots \times (-4) = 0\)

Puis : quel calcul permet de trouver directement chacun de ces nombres ?

Trace écrite

Quotient de deux nombres relatifs

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres relatifs, avec \(b\) non nul.

Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\) ou \(\dfrac{a}{b}\).

On ne divise jamais par \(0\).

Le quotient est le facteur qui manque

Règle des signes du quotient

La règle des signes du quotient est la même que celle du produit.

Pour diviser deux nombres relatifs :

on divise leurs distances à zéro ;
le quotient est positif si les deux nombres sont de même signe ;
le quotient est négatif s’ils sont de signes contraires.

Quatre cas

\(\dfrac{12}{3} = 4\)

\(\dfrac{-12}{3} = -4\)

\(\dfrac{12}{-3} = -4\)

\(\dfrac{-12}{-3} = 4\)

Vérification du dernier : \(4 \times (-3) = -12\), ce qui est bien le numérateur.

Trois écritures pour un même quotient

Pour \(b\) non nul :

\(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\)

Par exemple, \(\dfrac{-7}{4}\), \(\dfrac{7}{-4}\) et \(-\dfrac{7}{4}\) désignent le même nombre, soit \(-1,75\).

On écrit d’ordinaire le signe devant la fraction : c’est la forme la plus lisible.

Trois écritures, un seul nombre

Remarque

Un quotient de deux décimaux n’est pas toujours décimal : \(\dfrac{-1}{3}\) n’a pas d’écriture décimale exacte. Cette année, on s’en tient aux quotients qui tombent juste ; le cas général sera étudié dans la séquence sur les nombres rationnels.

Exercices

Application directe

Calculer.

a. \(\dfrac{-56}{8}\) b. \(\dfrac{-42}{-6}\) c. \(\dfrac{35}{-5}\) d. \((-4,5) \div (-0,5)\) e. \(\dfrac{0}{-3}\) f. \(\dfrac{-2,4}{4}\) g. \((-7,2) \div 9\) h. \(\dfrac{-100}{-10}\)

Changer d'écriture

Compléter.

a. \(\dfrac{-15}{4} = \dfrac{15}{\dots} = -\dfrac{15}{\dots}\) b. \(\dfrac{9}{-2} = \dfrac{\dots}{2} = -\dfrac{\dots}{2}\) c. Écrire \(-\dfrac{3}{7}\) de deux autres façons.

Vérifier par le produit

Sans poser la division, dire si chaque égalité est vraie ou fausse, en effectuant un produit.

a. \(\dfrac{-48}{6} = -8\) b. \(\dfrac{-30}{-5} = -6\) c. \(\dfrac{5,4}{-9} = -0,6\)