Séance 1 — Découverte et règle des signes du produit

Objectif de la séance

Déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient sans le calculer ; Calculer le produit de deux nombres décimaux relatifs, puis d’un produit de plusieurs facteurs

Automatismes

a. $(-8) + (-6)$
b. $5 - 12$
c. $(-4) - (-9)$
d. $0{,}6 \times 7$
e. L’opposé de $-7{,}5$

Mise en commun de l’activité

L’activité s’est arrêtée sur une conclusion et un problème :

La situation impose $(-3) \times (-4) = 12$.

La définition « addition répétée » ne permet pas de l’obtenir.

Prolonger une régularité

Comment on décide de la valeur d'un produit

On complète la colonne de gauche, où tout est connu, puis on continue la régularité observée.

$(-3) \times 3 = -9$

$(-3) \times 2 = -6$

$(-3) \times 1 = -3$

$(-3) \times 0 = 0$

$(-3) \times (-1) = \trouM{3}$

$(-3) \times (-2) = \trouM{6}$

$(-3) \times (-3) = \trouM{9}$

À chaque ligne, le second facteur diminue de $1$ et le produit augmente de $3$. En poursuivant, on retrouve la valeur qu’imposait la citerne.

Remarque

Ce n’est pas une démonstration, et il ne faut pas la présenter comme telle : c’est un choix, le seul qui permette de conserver les régularités du calcul déjà connues. Le dire explicitement aux élèves ; certains posent la question, et la réponse « on a décidé, pour que tout continue de marcher » est plus honnête et plus solide qu’une pseudo-preuve.

Trace écrite

Produit de deux nombres relatifs

Pour multiplier deux nombres relatifs :

on multiplie leurs distances à zéro ;
le produit est positif lorsque les deux facteurs sont de même signe ;
le produit est négatif lorsque les deux facteurs sont de signes contraires.

$\times$	second facteur positif	second facteur négatif
premier facteur positif	$+$	$-$
premier facteur négatif	$-$	$+$

Un produit dont l’un des facteurs est $0$ vaut $0$.

Quatre cas

$6 \times 7 = 42$

$(-6) \times 7 = -42$

$6 \times (-7) = -42$

$(-6) \times (-7) = 42$

Avec des décimaux : $(-2,5) \times 4 = -10$ et $(-0,5) \times (-6) = 3$.

Ne pas confondre avec la somme

La règle des signes du produit n’est pas celle de la somme.

$(-3) + (-4) = -7$, mais $(-3) \times (-4) = \trouM{12}$

Devant un calcul, la première question est donc toujours : est-ce une somme ou un produit ?

Multiplier par moins un

Multiplier un nombre par $-1$, c’est prendre son opposé.

$-1 \times 4 = \trouM{-4}$ et $-1 \times (-3) = \trouM{3}$

$Multiplier par $-1$ renvoie chaque nombre de l’autre côté de zéro$

Multiplier par moins un, c’est changer de côté

Exercices

Seul le premier est lancé en classe ; les deux autres sont repris en ouverture de la séance 2.

Application directe

Calculer.

a. $(-5) \times 6$
b. $(-5) \times (-6)$
c. $7 \times (-3)$ d. $(-9) \times (-2)$
e. $(-1) \times 8$
f. $(-4) \times 0$ g. $(-2,5) \times (-4)$
h. $0,3 \times (-6)$

Le signe d'abord

Sans effectuer le calcul, indiquer si le résultat est positif, négatif ou nul.

a. $(-12) \times 4$
b. $(-1,5) \times (-8)$ c. $0 \times (-17)$ d. $3,2 \times (-0,1)$
e. $(-100) \times (-0,01)$

Retrouver le facteur manquant

Compléter par le nombre qui convient.

a. $(-6) \times \dots = -42$
b. $\dots \times (-5) = 45$ c. $(-3) \times \dots = 0$
d. $\dots \times (-1) = 7$

\(\times\)	second facteur positif	second facteur négatif
premier facteur positif	\(+\)	\(-\)
premier facteur négatif	\(-\)	\(+\)