Séance 2 — Produit de plusieurs facteurs et carré d’un relatif

Objectif de la séance

Calculer le produit de deux nombres décimaux relatifs, puis d’un produit de plusieurs facteurs ; Distinguer le carré d’un nombre relatif de l’opposé de son carré

Automatismes

a. \(7 \times 0{,}8\)
b. \(0{,}25 \times 8\)
c. \(6 - (-4)\)
d. \(12 - 3 \times 2\)
e. \((12 - 3) \times 2\)

Recherche — compter les signes

Sans calculatrice :

\(A = (-2) \times (-5)\)

\(B = (-2) \times (-5) \times (-3)\)

\(C = (-2) \times (-5) \times (-3) \times (-1)\)

\(D = (-2) \times (-5) \times (-3) \times (-1) \times (-4)\)

Calculer \(A\), puis \(B\), puis \(C\), puis \(D\) en avançant d’un facteur à la fois.
Observer les signes obtenus. Que se passe-t-il à chaque nouveau facteur ?
Sans calculer, prévoir le signe d’un produit de sept facteurs tous négatifs.

Trace écrite

Les facteurs négatifs s’annulent deux par deux

Signe d'un produit de plusieurs facteurs

Un produit de plusieurs facteurs non nuls est :

positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ;
négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

Un produit est nul dès que l’un de ses facteurs est nul.

Calculer un produit de plusieurs facteurs

Compter les facteurs négatifs et en déduire le signe du résultat.
Multiplier toutes les distances à zéro entre elles.
Écrire le résultat avec le signe trouvé à l’étape 1.

Pour \((-2) \times 5 \times (-3) \times (-1)\) :

trois facteurs négatifs, nombre impair, donc le produit est négatif ;
\(2 \times 5 \times 3 \times 1 = 30\) ;
donc \((-2) \times 5 \times (-3) \times (-1) = \trouM{-30}\).

Compter les facteurs négatifs

Carré d'un nombre relatif

Le carré d’un nombre relatif est toujours positif ou nul, car ses deux facteurs sont égaux, donc de même signe.

\((-5)^2 = (-5) \times (-5) = \trouM{25}\)

Le cube, lui, garde le signe du nombre :

\((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = \trouM{-8}\)

Le carré et l'opposé du carré

\((-4)^2\) et \(-4^2\) ne désignent pas le même nombre.

\((-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16\) : les parenthèses indiquent que c’est \(-4\) qui est élevé au carré.
\(-4^2 = -(4 \times 4) = -16\) : sans parenthèses, seul le \(4\) est élevé au carré, et le signe moins reste devant.

Exercices

Signe puis valeur

Pour chaque produit, donner d’abord le signe, puis la valeur.

a. \((-2) \times (-3) \times (-5)\) b. \((-1) \times (-4) \times (-2) \times (-3)\) c. \(5 \times (-2) \times (-1) \times 3\) d. \((-0,5) \times 6 \times (-2)\) e. \((-7) \times 4 \times 0 \times (-9)\)

Carrés et parenthèses

Calculer.

a. \((-3)^2\) b. \(-3^2\) c. \((-1)^2\) d. \(-1^2\) e. \((-2)^3\) f. \((-10)^2\) g. \(-(-5)^2\)

Vrai ou faux, avec justification

Répondre par vrai ou faux, et justifier en une phrase ou par un contre-exemple.

a. Le produit de deux nombres négatifs est toujours positif. b. Le produit de trois nombres négatifs est toujours négatif. c. Le carré d’un nombre relatif est toujours positif. d. Si un produit est négatif, alors tous ses facteurs sont négatifs.