Séance 6 — Médiane et aires, triangles particuliers, bilan

Objectif de la séance

Objectif de la séance

Savoir reconnaître, dans un triangle isocèle ou équilatéral, les droites remarquables confondues

Automatismes

• a. Un triangle a deux angles de \(52°\) et \(61°\). Combien mesure le troisième ?
• b. Un triangle a ses trois côtés codés identiquement : nature ? mesure de chaque angle ?
• c. Où se trouve le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure \(10\) cm, et quel est le rayon ?
• d. Que peut-on dire des points de la médiatrice d’un segment ?
• e. Calculer \(80 - 5 \times (4 + 8)\).

Une médiane partage le triangle en deux

Deux moitiés de même aire ?

Deux moitiés de même aire ?

\(ABC\) est un triangle, \(M\) est le milieu de \([BC]\). On trace la médiane \([AM]\) et la hauteur issue de \(A\), de pied \(H\) et de longueur \(h\).

1. Quelle est la base du triangle \(ABM\) ? Quelle est la hauteur relative à cette base ?
2. Même question pour le triangle \(ACM\).
3. Comparer \(BM\) et \(MC\).
4. En déduire une comparaison des aires des triangles \(ABM\) et \(ACM\).

Médiane et aires

Médiane et aires

Dans un triangle, une médiane partage ce triangle en deux triangles de même aire.

Démonstration. \(M\) est le milieu de \([BC]\) et \(h\) est la longueur de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\).

• Dans le triangle \(ABM\), la hauteur issue de \(A\) est la même que dans \(ABC\) car \(B\), \(M\) et \(C\) sont alignés : son aire vaut \(\dfrac{BM \times h}{\trouM{2}}\).
• Dans le triangle \(ACM\), pour la même raison, l’aire vaut \(\dfrac{MC \times h}{\trouM{2}}\).
• Or \(M\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BM = \trouM{MC}\).
• Les deux aires sont donc égales.

Les triangles particuliers

Droites remarquables dans un triangle isocèle

Droites remarquables dans un triangle isocèle

Dans un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\), quatre droites sont confondues : la hauteur issue de \(A\), la médiane issue de \(A\), la médiatrice de \([BC]\) et l’axe de symétrie du triangle.

Cette droite passe donc aussi par le centre du cercle circonscrit et par l’orthocentre.

Cas du triangle équilatéral

Cas du triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral, ce qui précède vaut pour les trois sommets. Les hauteurs, les médianes et les médiatrices sont donc les mêmes trois droites, et l’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont un seul et même point.

Exercices de bilan

Vrai ou faux, en justifiant

Vrai ou faux, en justifiant

1. Dans tout triangle, la médiane issue de \(A\) est perpendiculaire à \([BC]\).
2. Dans un triangle isocèle en \(A\), la médiane issue de \(B\) est aussi une hauteur.
3. Une médiane partage un triangle en deux triangles superposables.
4. Le centre de gravité d’un triangle est toujours intérieur au triangle.

Synthèse

Synthèse

\(ABC\) est isocèle en \(A\), avec \(BC = 6\) cm et \(\widehat{B} = 70°\). On note \(M\) le milieu de \([BC]\) et on donne \(AM = 8{,}2\) cm.

1. Calculer \(\widehat{A}\).
2. Justifier que \((AM)\) est perpendiculaire à \((BC)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
4. Calculer l’aire du triangle \(ABM\) de deux façons différentes.

Préparation de l’évaluation

Remarque

Remarque

L’évaluation porte sur cette séquence et sur la séquence Priorités opératoires. Réviser les deux : les enchaînements d’opérations avec et sans parenthèses y sont évalués pour eux-mêmes, et ils reviennent dans le calcul du troisième angle d’un triangle.