Séance 2 — Construire un triangle à partir de données partielles

Objectif de la séance

Savoir construire un triangle dont on ne connaît qu’une partie des données, et reconnaître les données qui ne suffisent pas

Automatismes

a. Deux angles d’un triangle mesurent \(35°\) et \(75°\). Combien mesure le troisième ?
b. Un triangle rectangle a un angle de \(28°\). Combien mesurent ses deux autres angles ?
c. Un triangle équilatéral : combien mesure chacun de ses angles ?
d. Dans le triangle \(MNP\), on a codé \(MN = MP\) et un angle droit en \(M\). Quelle est la nature de \(MNP\) ?
e. Calculer \(60 - (12 + 18)\) puis \(60 - 12 + 18\).

Retour sur les messages A, B et C

Quelles données faut-il transmettre ?

Reprendre les trois questions laissées ouvertes lors de l’activité.

Le message A donnait \(40°\), \(60°\), \(80°\). Ces trois angles sont-ils compatibles ? Pourquoi les productions étaient-elles quand même toutes différentes ? Que faudrait-il ajouter ?
Le message C donnait \(6\) cm, \(9\) cm et \(50°\). Réécrire ce message de deux façons, chacune ne laissant plus aucune ambiguïté.
Pourquoi le message B fonctionnait-il ?

Trace écrite

Construire un triangle connaissant trois données

Cas 1 — les trois côtés. On trace un côté, puis deux arcs de cercle de centres ses extrémités et de rayons les deux autres longueurs. Le troisième sommet est le point d’intersection de ces deux arcs.

Cas 2 — deux côtés et l’angle compris entre eux. On trace l’angle avec le rapporteur, puis on reporte les deux longueurs sur ses deux côtés à partir du sommet.

Cas 3 — un côté et deux angles. On trace le côté, puis on construit les deux angles à ses extrémités. Le troisième sommet est le point d’intersection des deux demi-droites. Si l’un des angles donnés n’est pas à une extrémité du côté connu, on calcule d’abord le troisième angle avec le théorème de la somme des angles.

Les trois cas de construction

Attention

Trois angles ne déterminent pas un triangle : ils en fixent la forme, pas la taille. Il faut au moins une longueur parmi les données.

Deux côtés et un angle qui n’est pas compris entre eux peuvent décrire deux triangles différents : le message est alors ambigu.

Remarque

Avec trois longueurs, la construction peut aussi être impossible : essayer \(3\) cm, \(4\) cm et \(9\) cm, les deux arcs ne se coupent pas. Le côté le plus long ne doit pas dépasser la somme des deux autres.

Exercices

Constructions

Construire les triangles suivants en laissant les traits de construction, et rédiger pour chacun le programme de construction en trois lignes.

\(ABC\) tel que \(AB = 7\) cm, \(AC = 5\) cm, \(BC = 4\) cm.
\(DEF\) tel que \(DE = 6\) cm, \(DF = 4{,}5\) cm et \(\widehat{EDF} = 70°\).
\(GHI\) tel que \(GH = 8\) cm, \(\widehat{HGI} = 40°\) et \(\widehat{GIH} = 65°\).

Message impossible, message ambigu

Marius envoie : « mon triangle a un côté de \(6\) cm, un angle de \(100°\) et un angle de \(95°\) ». Que se passe-t-il ? Expliquer.
Nour envoie : « mon triangle a deux côtés de \(5\) cm et de \(8\) cm et un angle de \(40°\) ». Tracer deux triangles différents répondant à ce message.
Réécrire le message de Nour pour qu’il ne décrive qu’un seul triangle.

Triangles particuliers

Construire un triangle isocèle \(RST\) en \(R\) tel que \(ST = 6\) cm et \(\widehat{S} = 55°\).
Construire un triangle équilatéral de côté \(4{,}5\) cm, sans rapporteur.