Séance 4 — Aire d’un triangle et hauteurs

Objectif de la séance

Savoir tracer une hauteur, y compris quand son pied tombe hors du côté, et calculer l’aire d’un triangle

Automatismes

a. Que peut-on dire des points de la médiatrice d’un segment $[AB]$ ?
b. $ABC$ est rectangle en $A$ et $BC = 12$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?
c. Un triangle a ses trois angles codés identiquement. Quelle est sa nature ? Combien mesure chaque angle ?
d. Calculer l’aire d’un rectangle de $7$ cm sur $4$ cm.
e. Calculer $(9 + 5) \times 6 \div 2$.

Activité

La moitié du rectangle

Tracer un rectangle $ABCD$ tel que $AB = 6$ cm et $BC = 4$ cm. Quelle est son aire ?
Tracer la diagonale $[AC]$. Que peut-on dire des deux triangles obtenus ? En déduire l’aire du triangle $ABC$.
Tracer maintenant un triangle $EFG$ tel que $EF = 6$ cm, et $G$ situé à $4$ cm de la droite $(EF)$, mais pas à la verticale de $E$ ni de $F$. Encadrer ce triangle dans un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm. Découper, comparer les morceaux : que vaut l’aire de $EFG$ ?
Recommencer en plaçant $G$ ailleurs, toujours à $4$ cm de $(EF)$. L’aire change-t-elle ?

Trace écrite

Hauteur d'un triangle

Dans un triangle $ABC$, la hauteur issue de $A$ est la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire à la droite $(BC)$.

Le point d’intersection de cette droite avec $(BC)$ s’appelle le pied de la hauteur. On dit aussi que cette hauteur est relative au côté $[BC]$.

Un triangle possède trois hauteurs, une par sommet.

$La hauteur issue de $A$ et son pied $H$$

Attention

Le pied d’une hauteur n’est pas toujours sur le côté : quand le triangle a un angle obtus, il tombe sur le prolongement du côté, à l’extérieur du triangle. On trace alors ce prolongement en pointillés.

Un pied de hauteur à l’extérieur du côté

Aire d'un triangle

L’aire d’un triangle est égale au produit d’un côté, appelé base, par la hauteur relative à ce côté, le tout divisé par $\trouM{2}$ :

$\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{\trouM{2}}$

La base et la hauteur choisies doivent toujours se correspondre : la hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie.

Exercices

Application directe

Un triangle a une base de $10$ cm et la hauteur relative à cette base mesure $6$ cm. Calculer son aire.
Un triangle a une aire de $30$ cm² et une base de $12$ cm. Combien mesure la hauteur relative à cette base ?
$ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer son aire. Quelle base et quelle hauteur a-t-on utilisées ?

Trois calculs d'aire

Voici la figure d’un triangle $ABC$ et le calcul rendu par trois élèves.

Le triangle de l’exercice

Nour : $\dfrac{8 \times 5}{2} = 20$ cm²
Oscar : $8 \times 4 = 32$ cm²
Paul : $\dfrac{8 \times 4}{2} = 16$ cm²
Quelle copie est correcte ?
Pour chacune des deux autres, dire quelle donnée a été utilisée à tort ou quelle étape a été oubliée.
Quel élément de la figure permet de choisir les bonnes longueurs avant tout calcul ?

Trois calculs, un seul résultat

$RST$ est un triangle tel que $RS = 8$ cm et la hauteur issue de $T$ mesure $3$ cm.

Calculer l’aire de $RST$.
On mesure ensuite $ST = 6$ cm. Quelle doit être la longueur de la hauteur issue de $R$ ? Justifier par un calcul.