Séance 1 — La somme des angles d’un triangle

Objectif de la séance

Savoir calculer la mesure du troisième angle d’un triangle et justifier ce calcul ; Savoir démontrer que la somme des angles d’un triangle vaut 180°

Automatismes

a. Dans le triangle $RST$, les segments $[RS]$ et $[RT]$ portent le même codage. Quelle est la nature de ce triangle ? En quel sommet ?
b. Un triangle a ses trois côtés codés de la même façon. Quelle est sa nature ?
c. Calculer $5 + 3 \times 4$.
d. Calculer $(5 + 3) \times 4$.
e. Calculer $20 - 3 \times 5$.

Retour sur l’activité : le message impossible

Le puzzle des trois coins

Tracer sur une feuille blanche un triangle quelconque, différent de celui de son voisin. Colorier ses trois angles de trois couleurs différentes.
Découper le triangle, puis découper les trois coins.
Juxtaposer les trois coins, sommets contre sommets, sans les superposer.
Que constate-t-on ? Comparer avec son voisin.

Trace écrite

Somme des angles d'un triangle

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180°$.

Autrement dit, si $ABC$ est un triangle : $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{BCA} = \trouM{180°}$.

Trois triangles très différents, une même somme

Remarque

Conséquence immédiate : dès que l’on connaît deux angles d’un triangle, le troisième est entièrement déterminé, on n’a pas le choix. Un triangle ne peut donc avoir ni deux angles droits, ni deux angles obtus.

Démonstration

$Une parallèle à $(BC)$ passant par $A$$

On trace la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $A$. Elle fait apparaître au sommet $A$ trois angles, numérotés $1$, $2$ et $3$.

Les angles $1$ et $\widehat{ABC}$ sont alternes-internes pour les droites parallèles $(d)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(AB)$ : ils ont donc la même mesure.
Les angles $3$ et $\widehat{BCA}$ sont alternes-internes pour les droites parallèles $(d)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(AC)$ : ils ont donc la même mesure.
L’angle $2$ est l’angle $\widehat{BAC}$.
Les angles $1$, $2$ et $3$ sont côte à côte et forment un angle plat : $1 + 2 + 3 = \trouM{180°}$.

En remplaçant, on obtient $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{BCA} = \trouM{180°}$.

Remarque

La propriété utilisée ici — deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure — est admise : c’est l’outil, ce n’est pas ce que l’on démontre.

Exercices

Application directe

Calculer la mesure de l’angle manquant, en écrivant le calcul.

Dans le triangle $ABC$ : $\widehat{A} = 47°$ et $\widehat{B} = 68°$.
Dans le triangle $DEF$ : $\widehat{D} = 90°$ et $\widehat{E} = 34°$.
Dans le triangle $GHI$, isocèle en $G$ : $\widehat{G} = 40°$.

Trois copies à examiner

On cherche la mesure du troisième angle d’un triangle dont deux angles mesurent $47°$ et $68°$. Voici ce qu’ont écrit trois élèves.

Anaïs : $180 - 47 + 68 = 133 + 68 = 201$
Bilal : $180 - (47 + 68) = 180 - 115 = 65$
Cléo : $47 + 68 = 115$, donc l’angle mesure $115°$
Quelle copie est correcte ?
Pour chacune des deux autres, dire à quelle étape précise l’erreur est commise et expliquer en une phrase pourquoi c’est une erreur.
L’une des copies pouvait être écartée sans refaire aucun calcul. Laquelle, et comment ?

Vrai ou faux, en justifiant

Un triangle peut avoir un angle de $100°$ et un angle de $95°$.
Un triangle rectangle peut être isocèle.
Un triangle isocèle peut avoir un angle de $100°$ à sa base.