Séance 3 — Médiatrices et cercle circonscrit

Objectif de la séance

Savoir où se trouve le centre du cercle circonscrit selon la nature du triangle, et le justifier

Automatismes

a. Deux angles d’un triangle mesurent \(112°\) et \(23°\). Combien mesure le troisième ?
b. Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de \(80°\). Combien mesurent les angles à la base ?
c. Un triangle a un angle de \(90°\) et un angle de \(45°\). Quelle est sa nature, de deux façons ?
d. Calculer \(100 - (25 + 35)\).
e. Calculer \(7 \times 8 - 6 \times 4\).

Activité

Le puits

Trois maisons sont bâties aux sommets d’un terrain triangulaire. On veut creuser un puits à égale distance des trois maisons.

Trois terrains sont proposés en annexe : un terrain « pointu » (tous les angles aigus), un terrain rectangle, un terrain « écrasé » (avec un angle obtus).

Pour chaque terrain, construire le point cherché à la règle et au compas. Quelle construction connue de 6e permet d’obtenir un point à égale distance de deux maisons ?
Tracer ensuite le cercle de centre ce point passant par une des maisons. Que constate-t-on ?
Dans les trois cas, le puits est-il sur le terrain ?
Que se passe-t-il dans le cas du terrain rectangle : le point obtenu a-t-il une position remarquable ?

Trace écrite

Cercle circonscrit à un triangle

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point \(O\).

Ce point est à égale distance des trois sommets : le cercle de centre \(O\) passant par les trois sommets s’appelle le cercle circonscrit au triangle.

Les trois médiatrices concourantes, et le cercle qu’elles donnent

Le centre du cercle circonscrit selon la nature du triangle

Position du centre selon le triangle

Si le triangle a tous ses angles aigus, \(O\) est à l’intérieur du triangle.
Si le triangle est rectangle, \(O\) est le milieu de l’hypoténuse, et le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l’hypoténuse.
Si le triangle a un angle obtus, \(O\) est à l’extérieur du triangle.
Si le triangle est isocèle, \(O\) appartient à la médiatrice de la base, qui est aussi son axe de symétrie.
Si le triangle est équilatéral, \(O\) est le centre du triangle : les trois médiatrices sont aussi ses trois axes de symétrie.

Exercices

Application directe

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(BC = 9\) cm. Où se trouve le centre du cercle circonscrit ? Quel est son rayon ?
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(E\). Son cercle circonscrit a pour rayon \(6{,}5\) cm. Combien mesure \([DF]\) ?
\(GHI\) est isocèle en \(G\). Sans rien tracer, indiquer une droite dont on est sûr qu’elle passe par le centre du cercle circonscrit.

L'affirmation de Diego

Diego affirme : « le centre du cercle circonscrit à un triangle est toujours à l’intérieur du triangle, sinon le cercle ne passerait pas par les sommets ».

Diego a-t-il raison ?
Construire un contre-exemple précis, avec ses mesures.
Expliquer en une phrase d’où vient sa confusion.

Construction

Construire un triangle \(MNP\) tel que \(MN = 7\) cm, \(\widehat{M} = 30°\) et \(\widehat{N} = 35°\), puis son cercle circonscrit. Le centre est-il à l’intérieur du triangle ? Était-ce prévisible sans tracer ?