Séance 5 — Les hauteurs sont concourantes, les médianes aussi
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Savoir tracer les médianes d’un triangle et démontrer qu’une médiane le partage en deux triangles de même aire
Automatismes
- a. Deux angles d’un triangle mesurent \(64°\) et \(71°\). Combien mesure le troisième ?
- b. Où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?
- c. Un triangle isocèle a un angle à la base de \(35°\). Combien mesure l’angle au sommet principal ?
- d. Quelle construction donne l’ensemble des points à égale distance de deux points \(A\) et \(B\) ?
- e. Calculer \(150 - (60 + 45)\).
Activité
Trois droites, un point ?
Trois droites, un point ?
- Tracer un triangle \(ABC\) quelconque, assez grand, avec tous ses angles aigus. Tracer ses trois hauteurs à l’équerre. Que constate-t-on ?
- Recommencer avec un triangle ayant un angle obtus. Les hauteurs se coupent-elles encore en un même point ? Ce point est-il dans le triangle ?
- Tracer un nouveau triangle \(DEF\). Placer les milieux de ses trois côtés, puis relier chaque sommet au milieu du côté opposé. Que constate-t-on ?
- Dans le triangle de la question 3, la droite reliant \(D\) au milieu de \([EF]\) est-elle perpendiculaire à \([EF]\) ? Passe-t-elle par le centre du cercle circonscrit ?
Trace écrite
Les hauteurs d'un triangle
Les hauteurs d'un triangle
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, appelé l’orthocentre du triangle.
Ce point peut se trouver à l’extérieur du triangle lorsque celui-ci possède un angle obtus.
Médiane d'un triangle
Médiane d'un triangle
Dans un triangle \(ABC\), la médiane issue de \(A\) est la droite qui passe par \(A\) et par le milieu du côté opposé \([BC]\).
Un triangle possède trois médianes.
Les médianes d'un triangle
Les médianes d'un triangle
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle ; il est toujours à l’intérieur du triangle.
Attention
Attention
Trois droites à ne pas confondre.
| Droite | Elle passe par… | Elle est perpendiculaire… | Elle passe par le milieu… |
|---|---|---|---|
| Médiatrice de \([BC]\) | le milieu de \([BC]\) | oui, à \((BC)\) | oui, de \([BC]\) |
| Hauteur issue de \(A\) | le sommet \(A\) | oui, à \((BC)\) | non, en général |
| Médiane issue de \(A\) | le sommet \(A\) | non, en général | oui, de \([BC]\) |
Exercices
Reconnaître et tracer
Reconnaître et tracer
Tracer un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 7\) cm, \(AC = 5\) cm et \(BC = 9\) cm, puis :
- tracer en rouge la hauteur issue de \(A\) ;
- tracer en bleu la médiane issue de \(A\) ;
- tracer en vert la médiatrice de \([BC]\) ;
- ces trois droites sont-elles confondues ? deux d’entre elles le sont-elles ?
L'affirmation de Sarah
L'affirmation de Sarah
Sarah écrit dans son cahier : « la hauteur issue de \(A\) passe par le milieu de \([BC]\), donc pour la tracer il suffit de relier \(A\) au milieu de \([BC]\) ».
- Sarah a-t-elle toujours raison ?
- Justifie ta réponse par une figure, en mesurant l’angle que fait la droite de Sarah avec \([BC]\).
- Existe-t-il des triangles pour lesquels le procédé de Sarah convient ? Lesquels ?
- Quelle droite du triangle Sarah trace-t-elle en réalité ?