Séance 2 — Exposants négatifs

Objectif de la séance

Donner un sens à un exposant négatif en prolongeant le tableau des puissances ; Simplifier un quotient de puissances en revenant à la définition

Automatismes

a. Combien vaut $\sqrt{64}$ ?
b. Calcule $(-6) \times 7$.
c. Combien vaut $10^3$ ?
d. Combien vaut $2^3$ ?
e. Écris $\dfrac{1}{4}$ en écriture décimale.

Mise en commun de l’activité

L’activité s’est arrêtée sur trois constats.

En descendant le tableau, l’exposant diminue de $1$ et le résultat est divisé
par la base. En continuant, on arrive à $10^0 = 1$, puis à $10^{-1} = 0{,}1$.

Le signe $-$ porte sur l’exposant, pas sur le nombre : $10^{-2}$ vaut
$0{,}01$, un nombre positif.

Un quotient de puissances se simplifie en écrivant les facteurs et en
barrant les communs : $\dfrac{5^3}{5^5} = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}$.

Trace écrite

Exposant négatif

Soit $a$ un nombre non nul et $n$ un entier positif. On pose $$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} \qquad\text{et}\qquad a^{0} = 1.$$

Autrement dit, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^{n}$.

Les puissances de dix, de part et d’autre de 1

Attention

Le signe $-$ porte sur l’exposant, jamais sur le nombre.

$2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$, qui est positif.
$-2^{3} = -8$, qui est négatif : ici le signe est devant le nombre.

Une puissance à exposant négatif d’un nombre positif est toujours positive, et plus petite que $1$.

Simplifier un quotient de puissances

Écrire le numérateur et le dénominateur sous forme de produits de facteurs.
Barrer les facteurs communs, autant de fois qu’ils apparaissent des deux côtés.
Lire ce qui reste, et l’écrire sous forme de puissance — à exposant positif s’il en reste au numérateur, négatif s’il en reste au dénominateur.

Exemple

$\dfrac{2^2}{2^6} = \dfrac{2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}$

Après avoir barré les deux facteurs communs, il reste $\dfrac{1}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

Exercices

1. Écritures

Écris sous forme décimale : $10^{-2}$ ; $2^{-3}$ ; $5^{-2}$ ; $4^{-1}$.
Écris sous forme de puissance à exposant négatif : $\dfrac{1}{100}$ ; $\dfrac{1}{9}$ ; $\dfrac{1}{32}$.
Vrai ou faux ? Corrige les affirmations fausses.

a. $3^{-2} = -9$ b. $10^{-3} = 0{,}001$ c. $7^{0} = 0$ d. $2^{-1} = 0{,}5$

2. Trois quotients

Simplifie chaque quotient en écrivant les facteurs, puis donne le résultat sous forme d’une puissance à exposant négatif.

a. $\dfrac{3^2}{3^5}$ b. $\dfrac{7^4}{7^6}$ c. $\dfrac{10^5}{10^8}$

Bilan de la séquence

Ce que la séquence a mis en place