Séance 1 — Décimaux relatifs et racine carrée

Objectif de la séance

Calculer avec des décimaux relatifs en respectant signes et priorités ; Employer la racine carrée pour résoudre un problème, notamment géométrique

Automatismes

a. Calcule $(-3) \times (-5)$.
b. Calcule $(-12) \div 4$.
c. Calcule $2 + 3 \times 4$.
d. Combien vaut $\sqrt{49}$ ?
e. Combien vaut $5^2$ ?

Trace écrite

Signes d'un produit et d'un quotient

Le produit ou le quotient de deux nombres relatifs :

est positif si les deux nombres ont le même signe ;
est négatif s’ils sont de signes contraires.

La règle des signes, et l’ordre des opérations

Ordre des opérations

D’abord ce qui est entre parenthèses.
Puis les puissances.
Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite.
Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple

$-3 + 5 \times (-2)$

La multiplication passe avant l’addition : $5 \times (-2) = -10$.

Il reste $-3 + (-10) = -13$.

Racine carrée

Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : aucun carré n’est négatif.

Ce que dit la définition de la racine carrée

Deux conséquences immédiates

Pour tout nombre positif $a$ : $$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad\text{et}\qquad \sqrt{a^2} = a.$$

Attention

$\sqrt{a + b}$ n’est pas égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Remarque

Les Grecs de l’école de Pythagore croyaient que toute longueur pouvait s’écrire comme un quotient de deux entiers. La diagonale d’un carré de côté $1$ mesure $\sqrt{2}$, et l’on démontra vers le Ve siècle avant notre ère qu’aucune fraction ne vaut ce nombre. La découverte fit scandale : elle obligeait à admettre des nombres que le calcul de l’époque ne savait pas écrire.

Exercices

1. Calculer avec des relatifs

Calcule, en détaillant les étapes.

a. $-3 + 5 \times (-2)$ b. $(-4) \times (-2{,}5)$ c. $(-7{,}2) \div (-0{,}9)$ d. $12 - (-3) \times 4$ e. $(-2)^2 - 3^2$ f. $(-5 + 3) \times (-4)$

2. Racines carrées

Donne la valeur exacte de $\sqrt{81}$, de $\sqrt{0{,}25}$ et de $\sqrt{144}$.
$\sqrt{-4}$ existe-t-il ? Explique.
Donne une valeur approchée de $\sqrt{2}$ au centième.
Combien vaut $\left(\sqrt{7}\right)^2$ ? Et $\sqrt{11^2}$ ?
Range dans l’ordre croissant : $\sqrt{9}$ ; $3{,}5$ ; $\sqrt{16}$ ; $\sqrt{12}$.

3. Deux longueurs à calculer

Le mât et le rectangle

Un mât vertical de $6$ m est maintenu par un hauban fixé au sol à $4{,}5$ m de son pied. Calcule la longueur du hauban.
Un rectangle mesure $5$ cm sur $12$ cm. Calcule la longueur de sa diagonale.
Dans les deux cas, vérifie ton résultat en élevant au carré.

4. La copie de Yanis

Yanis doit calculer $\sqrt{9 + 16}$. Il écrit :

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

Calcule toi-même $\sqrt{9 + 16}$, en respectant l’ordre des opérations.
Compare avec le résultat de Yanis. Que peux-tu en conclure ?
Yanis répond : « c’est presque pareil, l’écart est petit ». Que lui réponds-tu ?
Le même raisonnement fonctionne-t-il avec la multiplication ? Teste sur $\sqrt{4 \times 9}$.