Séance 2 — L’événement contraire

Objectif de la séance

Reconnaître l’événement contraire d’un événement donné ; Calculer la probabilité d’un événement contraire

Automatismes

a. \(1 - 0{,}3\)
b. Une urne de \(10\) boules dont \(3\) rouges : probabilité de « rouge » ?
c. \(1 - \dfrac{1}{4}\)
d. \(1 - 0{,}55\)
e. Combien vaut la somme des probabilités de toutes les issues ?

Trace écrite

L'événement contraire

L’événement contraire d’un événement \(A\) est l’événement qui se produit exactement lorsque \(A\) ne se produit pas. On le note \(\overline{A}\).

Le contraire de « obtenir une boule rouge » est « ne pas obtenir de boule rouge » — et non « obtenir une boule bleue ».

La probabilité du contraire

Les deux morceaux remplissent toute la barre

\[P(\overline{A}) = 1 - P(A)\]

En effet, les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble, et l’un des deux se produit toujours : leurs probabilités totalisent \(1\).

Reconnaître un vrai contraire

Deux événements sont contraires si, à chaque expérience, exactement un des deux se produit.

« rouge » et « bleue » : on peut n’obtenir ni l’une ni l’autre — ce ne sont pas des contraires ;
« rouge » et « pas rouge » : l’un des deux se produit toujours, jamais les deux — ce sont des contraires.

Le test : peut-on obtenir ni l’un ni l’autre ? Peut-on obtenir les deux ? Si la réponse est non aux deux questions, ce sont bien des contraires.

Sur la roue

Dix secteurs, trois couleurs

\(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\), donc
\(P(\text{pas rouge}) = 1 - 0{,}3 = \trouM{0{,}7}\).

Vérification directe : il y a \(7\) secteurs non rouges sur \(10\), soit bien
\(0{,}7\).

Remarque

La formule fait gagner du temps quand l’événement contraire est plus simple à compter. « Obtenir au moins un pile en trois lancers » se calcule beaucoup plus vite par son contraire, « n’obtenir aucun pile ». On y reviendra en 3e.

Exercices

Série 1 — Écrire le contraire

Écris l’événement contraire de chacun de ces événements.

a. « obtenir un \(6\) » avec un dé. b. « obtenir une boule verte ». c. « il pleut demain ». d. « obtenir un nombre pair » avec un dé. e. « le train est à l’heure ».

Série 2 — Calculer

\(P(A) = 0{,}4\). Calcule \(P(\overline{A})\).
\(P(B) = 0{,}85\). Calcule \(P(\overline{B})\).
\(P(C) = \dfrac{1}{5}\). Calcule \(P(\overline{C})\).
\(P(\overline{D}) = 0{,}12\). Calcule \(P(D)\).
\(P(E) = 1\). Calcule \(P(\overline{E})\) et interprète.

Série 3 — Dans une situation

Une urne contient \(3\) boules rouges, \(5\) bleues et \(2\) vertes.

Calcule \(P(\text{rouge})\), puis \(P(\text{pas rouge})\) de deux façons : par la formule, puis en comptant les boules.
Calcule \(P(\text{pas bleue})\).
« bleue » et « pas verte » sont-ils deux événements contraires ? Justifie.
Quel est le contraire de « rouge ou verte » ? Calcule sa probabilité.