Séance 1 — Quand les issues ne se valent pas

Objectif de la séance

Distinguer une situation où les issues se valent d’une situation où elles ne se valent pas ; Calculer une probabilité dans une situation qui ne relève pas de l’équiprobabilité

Automatismes

a. $\dfrac{3}{10}$ sous forme décimale
b. Un dé équilibré : probabilité d’obtenir $4$ ?
c. $\dfrac{5}{10}$ sous forme décimale
d. Une probabilité peut-elle valoir $1{,}4$ ?
e. $\dfrac{2}{10}$ en pourcentage

Trace écrite

Vocabulaire

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, et l’on ne peut pas prévoir lequel se produira.

Un événement est un ensemble d’issues — par exemple « obtenir une boule rouge », ou « obtenir un nombre pair ».

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances de se produire.

Premier cas : les issues se valent

Lorsque toutes les issues ont les mêmes chances — un dé équilibré, une pièce non truquée, une urne où l’on tire une boule au hasard — on calcule :

\[P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}} {\text{nombre de cas possibles}}\]

Dix boules qui se valent, trois couleurs qui ne se valent pas

Dans cette urne, les boules se valent : chacune a une chance sur dix d’être tirée. Les couleurs, elles, ne se valent pas.

\[P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \qquad P(\text{bleue}) = \dfrac{5}{10} = \trouM{0{,}5} \qquad P(\text{verte}) = \dfrac{2}{10} = \trouM{0{,}2}\]

Compter les issues, pas les mots

« Il y a trois couleurs, donc une chance sur trois » est faux : les trois couleurs ne sont pas également représentées.

On compte toujours ce qui se vaut — ici les boules — et non ce que l’énoncé nomme.

Second cas : les issues ne se valent pas

Lorsque rien ne permet d’affirmer que les issues se valent — une punaise, un dé truqué, une roue déséquilibrée — aucun calcul n’est possible.

On répète l’expérience un grand nombre de fois, et l’on prend pour probabilité la valeur autour de laquelle la fréquence se stabilise.

C’est ce que l’activité a fait : sur $600$ lancers, la fréquence s’est stabilisée autour de $0{,}62$.

Remarque

$Toute probabilité se place entre $0$ et $1$$

Plus le nombre d’expériences est grand, plus la fréquence observée est proche de la probabilité. C’est pourquoi $20$ lancers ne suffisent pas et $600$ commencent à suffire.

Exercices

Série 1 — Les issues se valent-elles ?

Pour chaque expérience, dis si les issues se valent, et pourquoi.

a. On lance un dé équilibré à six faces. b. On lance une punaise. c. On tire une boule au hasard dans une urne contenant $10$ boules. d. On lance une bouteille en plastique et l’on regarde si elle retombe debout. e. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.

Série 2 — Calculer dans une urne

Une urne contient $4$ boules rouges, $10$ boules bleues et $6$ boules vertes, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.

Combien y a-t-il de boules en tout ?
Calcule $P(\text{rouge})$, $P(\text{bleue})$ et $P(\text{verte})$, sous forme décimale.
Additionne ces trois probabilités. Que remarques-tu ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge, bleue ou verte ?

Série 3 — De la fréquence à la probabilité

Un fabricant teste une roue de loterie truquée. Il la fait tourner $2\,000$ fois et note les résultats.

secteur	rouge	bleu	vert
effectif	640	1 100	260

Calcule la fréquence de chaque couleur, arrondie au centième.
Quelle probabilité peut-on attribuer à chaque couleur ?
Vérifie que la somme de ces trois probabilités vaut environ $1$.
Pourquoi ne pouvait-on pas calculer ces probabilités sans faire tourner la roue ?