Activité de découverte — Trois réussites et une impasse

Quand le facteur commun n'existe pas

Quand le facteur commun n'existe pas

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous forme de produit. La 4e a appris à le faire en mettant en évidence un facteur commun.

1. Factorise \(6x + 9\), puis \(5x^2 + 5x\) (indice : \(5x^2\) s’écrit aussi \(5 \times x \times x\)), puis \((x+2)(x-1) + (x+2) \times 3x\). Dans ces trois cas, quel était le facteur commun, et fallait-il réécrire un terme pour le voir ?

2. On veut maintenant factoriser \(x^2 - 9\). Cherche un facteur commun aux deux termes \(x^2\) et \(9\) : que constates-tu ? Recopie et complète le tableau suivant, puis compare les deux lignes. Peux-tu en conclure que \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) pour tous les nombres ?

   \(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(10\)
   \(x^2 - 9\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
   \((x-3)(x+3)\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)

La place d’un village est un carré de \(x\) mètres de côté, entièrement dallée sauf une réservation carrée de \(3\) m de côté, laissée dans un coin pour un arbre.

1. Explique pourquoi l’aire dallée vaut \(x^2 - 9\). Sur la figure 2, le domaine dallé est coupé en deux rectangles : donne leur largeur commune, puis l’aire de chacun. Sur la figure 3, les deux rectangles sont remis bout à bout : donne les dimensions du rectangle obtenu, puis son aire sous forme de produit.
2. Les figures 1 et 3 représentent le même domaine dallé. Qu’as-tu démontré ? Factorise alors \(x^2 - 49\).