Séance 1 — Somme ou produit, et le facteur commun
Objectif de la séance
Objectif de la séance
Reconnaître une somme ou un produit, et mettre en évidence un facteur commun
Automatismes
- a. Développer \(4(x + 7)\)
- b. \(7^2\)
- c. Le plus grand diviseur commun à \(12\) et \(18\)
- d. \(x \times x\)
- e. \(x + x\)
Mise en commun de l’activité
L’activité s’est arrêtée sur trois réussites et une conjecture en suspens :
On sait factoriser dès qu’il existe un facteur commun, quitte à réécrire chaque terme sous forme de produit pour le faire apparaître.
Dans \(x^2 - 9\), il n’y en a aucun. L’expression se factorise pourtant, et un découpage l’a montré. On ne l’a pas encore démontré par le calcul.
Trace écrite
Développer, factoriser
Développer, factoriser
Développer une expression, c’est l’écrire sous forme de somme.
Factoriser une expression, c’est l’écrire sous forme de produit.
Ce sont deux chemins opposés entre les deux écritures d’une même quantité.
Reconnaître la forme d'une expression
Reconnaître la forme d'une expression
La forme d’une expression se lit sur sa dernière opération, celle qu’on effectuerait en dernier si on remplaçait la lettre par un nombre.
\(6x + 9\) est une somme de deux termes. \(3(2x+3)\) est un produit de deux facteurs.
Mise en évidence d'un facteur commun
Mise en évidence d'un facteur commun
Pour tous les nombres \(k\), \(a\) et \(b\) :
C’est la distributivité de la 4e, lue de droite à gauche.
Remarque
Remarque
On peut la lire sur une aire : un rectangle se mesure d’un seul tenant, ou morceau par morceau.
Factoriser par un facteur commun
Factoriser par un facteur commun
Étape 1. Repérer ce qui est commun à tous les termes.
Étape 2. Réécrire chaque terme comme le produit du facteur commun par autre chose.
Étape 3. Écrire le facteur commun devant, et ce qui reste entre parenthèses.
Étape 4. Contrôler en redéveloppant.
Le terme qui semble disparaître vaut 1
Le terme qui semble disparaître vaut 1
Quand un terme est exactement le facteur commun, il ne disparaît pas : il laisse un \(1\).
\(7x + 7 = 7 \times x + 7 \times 1 = 7(x + 1)\) — à écrire
\(7x + 7 = 7(x)\) — à ne pas écrire : en redéveloppant, on obtiendrait \(7x\), et le second terme aurait disparu
Exercices
Commencés en classe, terminés à la maison, corrigés en ouverture de la séance 2.
Somme ou produit ?
Somme ou produit ?
Pour chaque expression, dis s’il s’agit d’une somme ou d’un produit.
a. \(5(x - 2)\) b. \(5x - 2\) c. \(x(x+1) + 3\) d. \(3x \times (x - 4)\) e. \((x+1)(x+2)\) f. \((x+1) + (x+2)\)
Factoriser
Factoriser
Factorise les expressions suivantes.
a. \(7x + 7y\) b. \(4a - 12\) c. \(15x + 25\) d. \(6y - 9\) e. \(11x + 11\) f. \(8x - 8\)
Le périmètre du bassin
Le périmètre du bassin
Un bassin rectangulaire mesure \(x\) mètres de large et \(x + 7\) mètres de long.
- Écris son périmètre sous forme de somme, sans parenthèses.
- Factorise cette expression.
- Le maçon doit poser une margelle tout autour, vendue par mètre. Laquelle des deux écritures lui est la plus commode pour calculer la longueur à commander quand \(x\) vaut \(6\) ? Fais les deux calculs pour comparer.