Séance 3 — Une proportion sur cent

Objectif de la séance

Comprendre qu’un pourcentage est une proportion, et le relier à une fraction de dénominateur cent

Automatismes

a. \(9 \times 7\)
b. \(\dfrac{6}{8}\) simplifiée
c. \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{\ldots}{100}\)
d. \(0{,}25\) en fraction décimale
e. \(7\,\%\) en écriture décimale

Activité

Le ciné-club du collège

Le ciné-club a projeté le même film trois fois, dans trois salles de tailles différentes. Voici la fréquentation de chaque séance.

Les trois salles, à leur taille relative

Séance	Places dans la salle	Spectateurs
mardi	\(40\)	\(26\)
jeudi	\(120\)	\(66\)
vendredi	\(50\)	\(30\)

Quelle séance a réuni le plus de spectateurs ? D’après toi, quelle séance a le mieux rempli sa salle ? Écris ta réponse avant de calculer quoi que ce soit. Les deux réponses sont-elles les mêmes ?
Écris, pour chaque séance, la fraction de la salle qui était occupée. Ces trois fractions se comparent-elles facilement ?
Écris chacune de ces trois fractions avec le dénominateur \(100\), en simplifiant d’abord si c’est nécessaire. Range ensuite les trois séances de la mieux remplie à la moins bien remplie.
Le samedi, la salle de \(30\) places a reçu \(21\) spectateurs. Essaie d’écrire cette proportion sur \(100\) comme à la question 3 : qu’est-ce qui bloque ? Cherche, même sans y arriver.

Trace écrite

Pourcentage

Un pourcentage est une proportion ramenée à cent.

Écrire \(65\,\%\), c’est dire « \(65\) pour cent », c’est-à-dire \(65\) parts sur \(100\).

\[65\,\% = \frac{65}{100} = 0{,}65\]

Un pourcentage n’est donc pas un nombre d’objets : c’est une part du tout.

Les trois séances du ciné-club, ramenées à cent cases

Attention

« \(20\,\%\) des élèves » ne veut pas dire « \(20\) élèves ». Dans une classe de \(30\), cela fait \(6\) élèves ; dans un collège de \(500\), cela en fait \(100\).

Un pourcentage ne se comprend jamais sans savoir sur quoi il porte.

Ramener une proportion à cent

Pour écrire \(\frac{13}{20}\) en pourcentage :

Chercher par combien multiplier le dénominateur pour obtenir \(100\) : \(20 \times \trouM{5} = 100\).
Multiplier le numérateur par ce même nombre : \(13 \times 5 = 65\).
Conclure : \(\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 65\,\%\).

C’est l’égalité de fractions de la séance 1, avec un dénominateur imposé.

Le même pourcentage, deux nombres d’élèves

Remarque

Quelques pourcentages se reconnaissent sans calcul, et il vaut mieux les connaître : \(50\,\%\) est la moitié, \(25\,\%\) le quart, \(75\,\%\) les trois quarts, \(10\,\%\) le dixième, \(100\,\%\) la totalité.

Pourquoi cent, et pas mille ?

Le pourcentage vient de l’impôt et du commerce, et non des mathématiques. Une part de la récolte, une taxe sur une vente, un intérêt sur une somme prêtée : dans tous ces cas, il faut une proportion que les deux parties puissent vérifier, et comparer d’une année sur l’autre. Ramener au centième s’est imposé peu à peu parce que c’est assez fin pour être juste, et assez rond pour être calculé de tête — les impôts romains se comptaient déjà en centièmes, et les marchands d’Europe ont gardé l’habitude.

C’est la même raison qui vaut aujourd’hui : \(\frac{13}{20}\) et \(\frac{16}{25}\) ne se départagent pas à vue, alors que \(65\,\%\) et \(64\,\%\) se comparent d’un coup d’œil. Le pourcentage n’apporte rien de nouveau au nombre, il lui donne une unité commune.

Exercices

Application directe

Écris chaque proportion en pourcentage.

a. \(\frac{7}{10}\) b. \(\frac{9}{20}\) c. \(\frac{3}{4}\) d. \(\frac{17}{50}\) e. \(\frac{1}{2}\) f. \(\frac{12}{25}\)

La soirée jeux du foyer

Le foyer du collège organise une soirée jeux de société. Sur les \(50\) élèves présents, \(30\) choisissent un jeu de plateau, \(10\) un jeu de cartes, et les autres un jeu coopératif.

Quel pourcentage des élèves a choisi un jeu de plateau ?
Quel pourcentage a choisi un jeu de cartes ?
Combien d’élèves ont choisi un jeu coopératif ? Quel pourcentage cela représente-t-il ?
Additionne les trois pourcentages. Que trouves-tu, et pourquoi ?
La semaine suivante, \(60\) élèves viennent et \(36\) choisissent un jeu de plateau. La proportion a-t-elle changé ?

La lecture de Tomas

Un article annonce : « \(30\,\%\) des collégiens de l’île pratiquent un sport en club. »

Tomas : « Ça fait donc \(30\) collégiens. »

La conclusion de Tomas est-elle juste ? Explique.
Si l’île compte \(9\,000\) collégiens, combien en pratiquent un en club ?
Dans un collège de \(400\) élèves, combien cela ferait-il, si la proportion y est la même ?
Quelle information faut-il connaître pour répondre à la place de Tomas ?