Séance 1 — Des fractions égales

Objectif de la séance

Reconnaître deux fractions égales, et changer le dénominateur d’une fraction sans changer le nombre qu’elle désigne

Automatismes

a. \(7 \times 6\)
b. \(48 \div 6\)
c. Le quart de \(20\)
d. \(\dfrac{3}{10}\) en écriture décimale
e. Le reste de \(20\) par \(6\)

Trace écrite

Deux écritures pour un même nombre

On ne change pas un nombre en fractions si l’on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\[\frac{3}{8} = \frac{3 \times 2}{8 \times 2} = \frac{6}{16}\]

De même, on ne le change pas en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Les deux parts de l’activité, sur deux bandes identiques

Exemple

Sur les deux bandes, les parts coloriées ont la même longueur. Couper chaque huitième en deux donne deux fois plus de parts, donc deux fois plus de parts coloriées : le nombre ne bouge pas, seule son écriture change.

Attention

Les deux opérations se font en haut et en bas, et c’est la même. Multiplier seulement le numérateur donne un autre nombre : \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{6}{8}\) ne sont pas égaux.

Et l’on multiplie ou l’on divise — jamais on n’ajoute. \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{4}{9}\) ne sont pas égaux, bien qu’on ait ajouté \(1\) des deux côtés.

Écrire une fraction avec un dénominateur imposé

Pour écrire \(\frac{3}{4}\) avec le dénominateur \(20\) :

Chercher par combien on multiplie l’ancien dénominateur pour obtenir le nouveau : \(4 \times \trouM{5} = 20\).
Multiplier le numérateur par ce même nombre : \(3 \times 5 = 15\).
Conclure : \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\).

L’étape 1 est une multiplication à trou : les tables suffisent.

En haut et en bas, et jamais en ajoutant

Exercices

Application directe

Complète chaque égalité.

a. \(\frac{2}{5} = \frac{\ldots}{15}\) b. \(\frac{3}{4} = \frac{\ldots}{12}\) c. \(\frac{7}{10} = \frac{\ldots}{100}\) d. \(\frac{5}{6} = \frac{\ldots}{18}\) e. \(\frac{9}{12} = \frac{3}{\ldots}\) f. \(\frac{20}{50} = \frac{2}{\ldots}\)

Le relevé du barrage

Le barrage de Tolla retient l’eau du lac de Tolla, qui alimente une partie de la Corse-du-Sud. Un relevé annonce que la retenue est remplie aux \(\frac{3}{4}\) de sa capacité. Un second relevé, publié le même jour par un autre service, annonce \(\frac{9}{12}\).

Ces deux relevés se contredisent-ils ? Justifie par un calcul.
Un troisième service publie \(\frac{15}{20}\). Même question.
Un quatrième annonce \(\frac{6}{9}\). Est-il d’accord avec les autres ?
Pourquoi vaut-il mieux publier ces relevés avec le même dénominateur ?
À l’aide de l’échelle de la carte, dis si le lac est à plus ou à moins de \(15\) km d’Ajaccio, à vol d’oiseau.

La copie de Léa

On demande d’écrire \(\frac{2}{3}\) avec le dénominateur \(12\).

Léa : « \(3 + 9 = 12\), donc j’ajoute \(9\) en haut aussi : \(\frac{2}{3} = \frac{11}{12}\). »

Vérifie la réponse de Léa en coloriant deux bandes identiques, l’une pliée en \(3\), l’autre en \(12\). Qu’en conclus-tu ?
Si Léa s’est trompée, explique ce qu’elle a fait et donne la bonne réponse.
Écris en une phrase le conseil que tu donnerais à Léa.