Séance 3 — Convertir des durées

Objectif de la séance

Convertir une durée d’une unité à une autre

Automatismes

a. \(9 \times 6\)
b. Le quotient de \(47\) par \(5\)
c. Le reste de \(47\) par \(5\)
d. Combien de cars de \(50\) places pour \(120\) élèves ?
e. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(AB = 7\) cm. Combien vaut \(AI\) ?

Trace écrite

Les unités de durée

\(1\) h \(=\) \(60\) min \(\qquad\) \(1\) min \(=\) \(60\) s \(\qquad\) \(1\) jour \(=\) \(24\) h

Ces unités ne fonctionnent pas comme les mètres ou les grammes : on ne passe pas de l’une à l’autre en multipliant par \(10\), mais par \(60\) ou par \(24\).

Ni dix ni cent : soixante et vingt-quatre

D'où viennent ces nombres ?

Le \(60\) vient de très loin. Les scribes de Mésopotamie comptaient dans un système où l’on regroupait par soixante et non par dix, et où la place d’un signe donnait déjà sa valeur — soixante fois plus à gauche, soixante fois moins à droite. Leurs successeurs, les astronomes grecs puis arabes, ont gardé ce découpage pour mesurer le temps et les angles, et nous l’avons hérité tel quel : c’est pourquoi nos heures et nos degrés se divisent en soixante, quand tout le reste se divise en dix. Nos deux mots le disent encore : la minute est la première petite part de l’heure, la seconde est la seconde petite part.

Convertir \(150\) min en heures et minutes, c’est donc passer de leur écriture à la nôtre — et c’est une division euclidienne par \(60\).

Le \(24\) et l’année posent un problème d’un autre genre : le tour du Soleil ne fait pas un nombre entier de jours, il en fait un peu plus de \(365\), environ un quart de jour en trop. Un reste qui ne tombe pas juste, et qu’il a bien fallu ranger quelque part — d’où le jour ajouté une année sur quatre, puis une correction ultérieure qui retire quelques-uns de ces jours pour que les saisons ne dérivent pas. Nos calendriers sont des divisions dont on a négocié le reste.

Convertir une durée

D’une grande unité vers une petite, on multiplie : \(3\) h \(= 3 \times 60 = 180\) min.
D’une petite unité vers une grande, on effectue une division euclidienne : le quotient donne les heures, le reste donne les minutes.

Cinq cents minutes regroupées par heures

Exemple

Convertissons \(150\) min en heures et minutes.

\(150 = 60 \times 2 + 30\)

Donc \(150\) min \(= 2\) h \(30\) min.

C’est exactement la division euclidienne de la séance 1, avec \(60\) pour diviseur : le quotient compte les heures entières, le reste les minutes qui restent.

Exemple

Convertissons \(2\) h \(45\) min en minutes.

\(2 \times 60 = 120\), puis \(120 + 45 = 165\).

Donc \(2\) h \(45\) min \(= 165\) min.

Attention

\(2\) h \(30\) min ne s’écrit pas \(2{,}30\) h. Les minutes ne sont pas des centièmes d’heure : \(30\) min, c’est une demi-heure, donc \(2{,}5\) h.

De même, \(1\) h \(15\) min \(= 1{,}25\) h, puisque \(15\) min est le quart d’une heure.

Remarque

Cette écriture décimale des heures ne sert que dans quelques métiers — la paie, le transport. En classe, on garde l’écriture en heures et minutes, qui ne prête pas à confusion.

Exercices

Application directe

Convertis.

a. \(4\) h en minutes b. \(210\) min en heures et minutes c. \(2\) h \(20\) min en minutes d. \(95\) min en heures et minutes e. \(180\) s en minutes f. \(3\) min \(40\) s en secondes

Les conversions de Bilal

Bilal a converti trois durées :

Bilal : \(150\) min \(= 1\) h \(50\) min

Bilal : \(2\) h \(30\) min \(= 2{,}30\) h

Bilal : \(90\) min \(= 1\) h \(30\) min

Pour chaque conversion, dis si elle est juste. Justifie.
Pour chacune de celles qui sont fausses, explique ce qu’a fait Bilal et corrige-la.

Comparer des durées

Range ces durées de la plus courte à la plus longue.

\(100\) min \(\qquad\) \(1\) h \(45\) min \(\qquad\) \(1{,}5\) h \(\qquad\) \(2\) h \(\qquad\) \(115\) min