Séance 1 — La division euclidienne

Objectif de la séance

Poser une division euclidienne et interpréter son quotient et son reste

Automatismes

a. \(7 \times 8\)
b. \(6 \times 9\)
c. Combien de fois \(4\) dans \(30\) ?
d. Le rayon d’un cercle de diamètre \(9\) cm
e. \(\dfrac{37}{100}\) en écriture décimale

Trace écrite

Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de \(187\) par \(6\), c’est trouver le plus grand nombre de paquets de \(6\) que l’on peut faire dans \(187\), et ce qu’il reste ensuite.

\(187 = 6 \times 31 + 1\)

\(187\) est le dividende, \(6\) le diviseur ;
\(31\) est le quotient, \(1\) le reste.

Des paquets, et ce qui reste

Le reste

Le reste est toujours inférieur au diviseur.

S’il lui était supérieur ou égal, c’est qu’un paquet de plus tenait encore, et que le quotient trouvé n’était pas le plus grand possible.

Exemple

Posons \(187 \div 6\).

Dans \(18\), combien de fois \(6\) ? Trois fois, et \(3 \times 6 = 18\) : il reste \(0\). On abaisse le \(7\).

Dans \(7\), combien de fois \(6\) ? Une fois, et \(1 \times 6 = 6\) : il reste \(1\).

Le quotient est \(31\), le reste est \(1\). Vérification : \(6 \times 31 + 1 = 186 + 1 = 187\).

Vérifier une division euclidienne

Contrôler que le reste est plus petit que le diviseur.
Calculer \(\text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}\) : on doit retrouver le dividende.

Les deux contrôles, et le piège du reste

Attention

Le reste ne s’écrit pas à la suite du quotient. Dans \(47 \div 5\), le quotient est \(9\) et le reste \(2\) — cela ne s’écrit pas \(9{,}2\). On écrit \(47 = 5 \times 9 + 2\).

Remarque

Écrire en marge les neuf premiers multiples du diviseur, avant de commencer, fait gagner du temps et évite la plupart des erreurs. Pour \(6\) : \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(36\), \(42\), \(48\), \(54\).

Exercices

Application directe

Pose chaque division euclidienne, puis écris l’égalité qui la résume et vérifie-la.

a. \(94 \div 7\) b. \(153 \div 4\) c. \(208 \div 12\) d. \(325 \div 25\)

Trois divisions à corriger

Trois élèves ont posé des divisions euclidiennes. Pour chacune, dis si elle peut être juste, sans la refaire.

Anaïs : \(73 = 8 \times 9 + 1\)

Bilal : \(95 = 7 \times 12 + 11\)

Chjara : \(84 = 5 \times 16 + 4\)

Retrouver ce qui manque

Une division euclidienne par \(9\) a pour quotient \(12\) et pour reste \(5\). Quel est le dividende ?
Une division euclidienne de \(100\) a pour quotient \(14\) et pour reste \(2\). Quel est le diviseur ?
Quels restes sont possibles dans une division par \(4\) ?
Un nombre divisé par \(6\) donne \(8\) pour quotient. Quel est le plus petit nombre possible ? Le plus grand ?