Séance 3 — Ce que le demi-tour conserve

Objectif de la séance

Savoir énoncer et utiliser ce qu’un demi-tour conserve : longueurs, mesures d’angles, aires, alignement, milieux ; Savoir que l’image d’une droite par un demi-tour est une droite qui lui est parallèle, et s’en servir

Automatismes

a. \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport au point \(O\). Que représente \(O\) pour le segment \([MM']\) ?
b. Quel est le symétrique du point \(O\) par rapport à \(O\) lui-même ?
c. \(OM = 2{,}6\) cm et \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\). Combien vaut \(MM'\) ?
d. \(2^3\)
e. \(135\) est-il divisible par \(5\) ?

Ce que disent les mesures

Sur le triangle \(RST\) et son image, les trois côtés se retrouvent à l’identique, les trois angles aussi. Reste à savoir si c’était un hasard de construction.

Trace écrite

Ce qu'un demi-tour conserve

Le demi-tour conserve :

les longueurs : si \(A'\) et \(B'\) sont les images de \(A\) et \(B\), alors \(A'B' = AB\) ;
les mesures d’angles ;
les aires et les périmètres ;
l’alignement : les images de trois points alignés sont trois points alignés ;
les milieux : l’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.

Une figure et son image par un demi-tour sont donc superposables.

Un triangle et son image : tout est conservé

Image des figures usuelles

L’image d’un segment est un segment de même longueur.
L’image d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre.
L’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.

L’image d’une droite est une droite parallèle

Attention

Cette dernière propriété n’a pas d’équivalent pour la symétrie axiale : l’image d’une droite par une symétrie axiale n’est parallèle à cette droite que dans des cas particuliers. C’est une différence de fond entre les deux transformations, pas un détail.

Remarque

Ces propriétés servent à justifier sans mesurer. Quand une question demande la longueur d’un côté de la figure image, la réponse n’est pas « j’ai mesuré \(5\) cm » mais « le demi-tour conserve les longueurs, donc \(A'B' = AB = 5\) cm ». La règle graduée sert à construire, pas à démontrer.

Exercices

Application directe

\(A'B'C'\) est l’image du triangle \(ABC\) par le demi-tour de centre \(O\). On donne \(AB = 7\) cm, \(BC = 4{,}5\) cm, \(\widehat{BAC} = 42°\) et l’aire de \(ABC\) vaut \(13\) cm².

Réponds sans mesurer et justifie chaque réponse.

Combien vaut \(A'B'\) ?
Combien vaut \(B'C'\) ?
Combien mesure l’angle \(\widehat{B'A'C'}\) ?
Quelle est l’aire de \(A'B'C'\) ?
Que peut-on dire des droites \((AB)\) et \((A'B')\) ?

Ce qui est déjà donné

\(M'\), \(N'\) et \(P'\) sont les images de \(M\), \(N\) et \(P\) par le demi-tour de centre \(O\). On sait que \(I\) est le milieu de \([MN]\).

Que peut-on dire de l’image \(I'\) du point \(I\) ?
On sait de plus que \(M\), \(N\) et \(P\) sont alignés. Que peut-on dire de \(M'\), \(N'\) et \(P'\) ?
La droite \((MN)\) coupe la droite \((M'N')\) ? Justifie.

Le plan du refuge

Sur le plan d’un refuge, la salle commune est un rectangle de \(8\) m sur \(5\) m. L’architecte dessine une seconde salle, image de la première par le demi-tour de centre \(O\), où \(O\) est le point marquant le poêle central.

Quelles sont les dimensions de la seconde salle ? Justifie.
Quelle est son aire ?
Les murs de \(8\) m des deux salles sont-ils parallèles ? Justifie.
L’architecte peut-il, par ce procédé, obtenir une salle deux fois plus grande ? Explique.