Séance 1 — Le demi-tour et le symétrique d’un point

Objectif de la séance

Savoir ce qu’est le symétrique d’un point par rapport à un centre, et le construire sur quadrillage comme sur feuille blanche

Automatismes

a. Sur un quadrillage, un point \(A\) est à \(3\) carreaux à gauche d’un axe vertical. Où est son symétrique ?
b. Que peut-on dire d’un point situé sur l’axe de symétrie ?
c. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(AB = 9\) cm. Combien vaut \(AI\) ?
d. \(7 + 3 \times 5\)
e. \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\)

Ce que le calque a montré

En joignant chaque point de \(F_2\) à son correspondant sur \(F'_2\), tous les segments passaient par le même point \(O\), qui en était le milieu. C’est cela qu’il faut maintenant écrire.

Trace écrite

Symétrique d'un point par rapport à un centre

Soit \(O\) un point du plan. Le symétrique d’un point \(M\) par rapport à \(O\) est le point \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([MM']\).

Le symétrique de M par rapport à O

On dit aussi que \(M'\) est l’image de \(M\) par le demi-tour de centre \(O\), ou par la symétrie centrale de centre \(O\). Le point \(O\) s’appelle le centre de la symétrie.

Remarque

Le symétrique de \(O\) par rapport à \(O\) est \(O\) lui-même : c’est le seul point qui ne bouge pas. Sur le calque, c’est le point où l’on a planté la pointe.

Construire un symétrique sur quadrillage

Pour aller de \(M\) à \(O\), on compte les carreaux horizontalement, puis verticalement. Pour aller de \(O\) à \(M'\), on compte les mêmes nombres de carreaux, en poursuivant dans le même sens.

Si l’on va de \(M\) à \(O\) en avançant de \(3\) carreaux vers la droite et de \(2\) vers le haut, alors on va de \(O\) à \(M'\) en avançant encore de \(3\) carreaux vers la droite et de \(2\) vers le haut.

Les mêmes carreaux, poursuivis dans le même sens

Attention

Les deux déplacements comptent. Une erreur fréquente consiste à reporter les carreaux horizontalement en oubliant le vertical : le point obtenu est aligné avec \(M\) et \(O\) par hasard, mais \(O\) n’est pas le milieu de \([MM']\). Le calque le montre en une seconde.

Exercices

Application directe

Sur ton cahier, trace un quadrillage et place \(O\) au centre.

Place \(A\) à \(4\) carreaux à droite et \(1\) carreau au-dessus de \(O\), puis construis \(A'\), son symétrique par rapport à \(O\).
Place \(B\) à \(2\) carreaux à gauche et \(3\) carreaux au-dessus de \(O\), puis construis \(B'\).
Place \(C\) sur \(O\). Où se trouve \(C'\) ?
Place \(D\) à \(5\) carreaux à droite de \(O\), sur la même ligne, puis construis \(D'\).

Retrouver le centre

Sur une figure, on lit que \(P'\) est le symétrique de \(P\) par rapport à un point \(O\) que l’on a effacé.

Comment retrouver \(O\) ? Explique la méthode en une phrase.
\(P\) est à \(6\) carreaux à droite et \(2\) carreaux au-dessus de \(P'\). Où se trouve \(O\) par rapport à \(P\) ?
Un camarade affirme qu’il peut exister deux centres possibles. A-t-il raison ?

Le motif du carrelage

Un carreleur pose un motif en losange sur un quadrillage. Il place un premier carreau, puis décide que chaque carreau suivant sera l’image du précédent par un demi-tour, autour du coin qu’ils ont en commun.

Sur un quadrillage, place un point \(O\) et un triangle \(ABC\) quelconque dont aucun sommet n’est \(O\). Construis son image par le demi-tour de centre \(O\).
Le carreleur affirme : « avec un demi-tour, le motif ne se retourne pas comme dans un miroir. » Vérifie sur ta figure en suivant les sommets \(A\), \(B\), \(C\) dans l’ordre, puis \(A'\), \(B'\), \(C'\).