Séance 2 — Construire sur feuille blanche

Objectif de la séance

Savoir construire le symétrique d’un segment, d’un triangle, d’une figure par un demi-tour

Automatismes

a. Quelle est la définition de la médiatrice d’un segment ?
b. \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la droite \((d)\). Que peut-on dire de \((d)\) pour le segment \([MM']\) ?
c. \(I\) est le milieu de \([RS]\) et \(RI = 4{,}5\) cm. Combien vaut \(RS\) ?
d. \(2 \times 3^2\)
e. Dans un triangle, deux angles mesurent \(50°\) et \(60°\). Combien mesure le troisième ?

Sans quadrillage, comment faire ?

La définition ne change pas : \(O\) doit être le milieu de \([MM']\). Il suffit donc de savoir aligner \(M\), \(O\), \(M'\) et de reporter la longueur \(OM\) de l’autre côté.

Trace écrite

Construire le symétrique d'un point par rapport à O

À la règle graduée.

Tracer la demi-droite d’origine \(M\) passant par \(O\).
Mesurer la longueur \(OM\).
Placer \(M'\) sur cette demi-droite, au-delà de \(O\), tel que \(OM' = \trouM{OM}\).

Au compas.

Tracer la droite \((MO)\).
Pointer le compas en \(O\) et prendre l’écartement \(OM\).
Reporter cet écartement de l’autre côté de \(O\) : le point obtenu sur la droite est \(M'\).

Attention

Le point \(M'\) est au-delà de \(O\), jamais du même côté que \(M\). Une figure où \(M\) et \(M'\) sont du même côté du centre est fausse même si les longueurs sont justes.

Construire l'image d'une figure

On construit le symétrique de chaque point important — les sommets pour un polygone, les extrémités pour un segment, le centre pour un cercle — puis on relie comme sur la figure de départ.

Un triangle et son image par le demi-tour de centre O

Remarque

Trois sommets suffisent pour un triangle : il est inutile de construire le symétrique d’un point pris au hasard sur un côté, il tombera tout seul sur le côté image. La séance 3 dira pourquoi.

Exercices

Application directe

Sur feuille blanche, à la règle et au compas.

Trace un segment \([AB]\) de \(6\) cm et place un point \(O\) en dehors de la droite \((AB)\). Construis \(A'\) et \(B'\), images de \(A\) et \(B\) par le demi-tour de centre \(O\), puis trace \([A'B']\).
Mesure \(A'B'\). Que constates-tu ?
Trace un triangle \(RST\) tel que \(RS = 5\) cm, \(ST = 4\) cm et \(RT = 6\) cm. Place un point \(O\) à l’intérieur du triangle et construis l’image de \(RST\) par le demi-tour de centre \(O\).

Analyser une copie

Un élève devait construire l’image de \([AB]\) par le demi-tour de centre \(O\). Il a rendu une figure où \(A'\) et \(B'\) sont placés de telle sorte que \(AA' \perp (d)\) et \(BB' \perp (d)\), pour une droite verticale \((d)\) passant par \(O\).

Quelle transformation a-t-il construite ?
Sa figure vérifie-t-elle la définition du demi-tour ? Explique en une phrase.
Que faudrait-il vérifier sur la figure pour être sûr que la construction est bonne ?

Le pont génois

Le tracé d’un pont génois à une arche est symétrique. On veut en dessiner un plan simplifié.

Trace un segment horizontal \([EF]\) de \(8\) cm : c’est la ligne d’eau. Place son milieu \(I\).
Au-dessus de \([EF]\), place trois points \(P\), \(Q\), \(R\) qui esquissent la moitié gauche de l’arche.
Construis les images de \(P\), \(Q\) et \(R\) par le demi-tour de centre \(I\). Où se trouvent-elles ?
Le demi-tour convient-il pour compléter le dessin de l’arche ? Sinon, quelle transformation faut-il ?